Анализ и синтез систем автоматического управления и исследование нелинейной системы

Таблица 1.2.2.3 — Данные для построения ФЧХ замкнутой системы

 

 

      Логарифмическая амплитудно-частотная  характеристика. 

       

     ω ∈ (0.1 ; 1000)

 

     Рисунок 1.2.2.4 — ЛАЧХ замкнутой системы 

Таблица 1.2.2.4 — Данные для построения ЛАЧХ замкнутой системы

 

 

      Логарифмическая фазо-частотная характеристика. 

       

     ω ∈ (0,1 ; 1000) 

 

     Рисунок 1.2.2.5 — ЛФЧХ замкнутой системы

Таблица 1.2.2.5 — Данные для построения ЛФЧХ замкнутой системы

 

      1.3 Анализ устойчивости САУ.

     1.3.1 Критерий Михайлова.

     Для построения годографа Михайлова, необходимо представить характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой системы в комплексной форме, заменив переменную s на j·ω, и разбив получившееся представление на вещественную и мнимую части. Эта операция производилась на этапе разбиения передаточной функции замкнутой системы на вещественную и мнимую, поэтому, воспользуемся её результатами:

      — вещественная часть;

      — мнимая часть.

     Теперь, строим годограф Михайлова на комплексной плоскости:

     ω ∈ (0 ; 100)

Рисунок 1.3.1.1 — годограф Михайлова

Таблица 1.3.1.1 — Данные для построения годографа Михайлова

 

     Вектор  Михайлова повернулся вокруг начала координат в положительном направлении  и ушёл в бесконечность в третьем квадранте, что соответствует порядку характеристического уравнения, а это значит, что, согласно критерию Михайлова, система является устойчивой.

 

      1.3.2 Критерий Гурвица.

     Характеристическое  уравнение передаточной функции  замкнутой системы: 

      . 

     Коэффициенты  характеристического уравнения  для определителя Гурвица нумеруем соответственно показателям степени переменной при них:

     a₀=2; a₁=0,18; a₂=0,008; a₃=0,000096;

     Определитель Гурвица:

     

     Подставляя  полученные значения, вычисляем его:

     

     Главный определитель Гурвица положителен. Аналогично исследуем все оставшиеся миноры.

        

        

     Учитывая  положительность всех диагональных миноров, заключаем устойчивость системы.

 

      1.3.3 Критерий Рауса.

     Характеристическое  уравнение передаточной функции  замкнутой системы: 

      . 

     Коэффициенты  характеристического уравнения для таблицы Рауса нумеруем соответственно показателю степени переменной при них: 

     a₀=2; a₁=0,18; a₂=0,008; a₃=0,000096; 

     Таблица 1.3.1 — Таблица Рауса.

       

     Так как все коэффициенты первого  столбца таблицы Рауса положительны, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.

 

      1.3.4 Критерий Найквиста.

     Здесь используется АФЧХ разомкнутой системы:

   

     Рисунок 1.3.4.1 — годограф Найквиста

     При стремлении частоты в бесконечность, годограф приходит в начало координат, закручиваясь по часовой стрелке, и не охватывает точку с координатами (–1 ; j0), что свидетельствует об устойчивости как разомкнутой, так и замкнутой системы. 

     Все критерии оценки устойчивости показали, что система устойчива и в  замкнутом, и в разомкнутом состоянии.

 

      1.3.5 Построение области устойчивости САУ.

     Характеристическое  уравнение замкнутой системы  с общим коэффициентом усиления, принятым переменным (k), имеет вид:

     

     Выполним  преобразование :

     

     D-разбиение в плоскости одного параметра выполняется исходя из условия равенства нулю действительной части характеристического уравнения (полюс на мнимой оси, что соответствует колебательной границе устойчивости системы). Однако, для наглядности представления, график D-разбиения строится на комплексной плоскости. Также, для удобства и наглядности, при построении D-разбиения, учитывают как положительные, так и отрицательные значения частот.

     В данном случае, характеристическое уравнение  решается относительно коэффициента усиления k: 

       

     Действительная  часть:

     

     Мнимая  часть:

     

     На  графике D-разбиения наносится штриховка в сторону устойчивой области.

     Рисунок 1.3.5.1 — D-разбиение 

Таблица 1.3.5.1 — Данные для построения D-разбиения

 

     Как видно, вся плоскость по параметру  K разбивается на три зоны, разделяемые точками на оси U_d(ω) с абсциссами:

     

     

     Первая  область — (–∞ ; –10);

     вторая  область — (–10 ; 190,666667);

     третья  область — (190,666667 ; +∞).

     Так как исходный коэффициент усиления системы, равный 10, находится во второй области устойчивости, можно заключить, что это — область, в которой данная САУ будет устойчива, и штриховку вдоль кривой, описанной графиком D-разбиения, следует нанести в сторону этой области.

 

        1.4 Построение переходного процесса системы методом трапеций

     Выполняем построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы (рис. 1.4.1).

     

     Рисунок 1.4.1 — ВЧХ замкнутой САУ.

Таблица 1.4.1 — Данные для построения АФЧХ замкнутой системы

 

      Разбиваем ВЧХ на три трапеции.

     Рисунок 1.4.2 — Разбивка ВЧХ на трапеции.

     Синим цветом выделен контур первой трапеция, зелёным – второй, розовым – третьей.

     Определяем параметры трапеций: высоту и частоты начала и окончания наклонной стороны ( и соответственно).

     Для наглядности, совместим трапеции основаниями  с осью частот.