Расчет показателей надежности

      В результате наблюдения за работой объекта  получены следующие значения наработки  до отказа t_i в часах (план наблюдений [ NUN ]): 9, 11, 20, 21, 28, 34, 38, 46, 50, 69, 75, 83, 98, 126, 130, 140, 143, 145, 151, 167, 174, 187, 190, 199, 219, 232, 254, 268, 283, 298, 310, 337, 433, 462, 590. Всего 35 значений случайной величины.

      Представленный  в таком виде простой статистический ряд не дает наглядного представления об интересующей нас случайной величине и поэтому требуется дополнительная обработка полученных данных наблюдения. 

      1.2.2 Предварительные вычисления 

      Для придания полученному массиву чисел  большей компактности и наглядности его подвергают поразрядной группировке, а таблица, в которой производится эта группировка, называется статистическим рядом.

      Определение зоны рассеивания (размах ряда) S:

      S=t_max – t_min,                                                 (1)

где t_max – наибольшее значение наработки;

t_min – наименьшее значение наработки.

      S = 590 – 9 = 581 ч.

      Определяем  число разрядов (интервалов) К по одной из двух формул:

      K = I + 3,322 lgn;                                         (2)

      K = ,                                                  (3)

где n – общее число испытаний.

      K =

=5,91, принимаем К = 6.

      Определяем  длину разряда l:

       .                                                     (4)

      

      Определяем  величину сдвига С из условия:

                                                    (5)

      

      В нашем случае имеет смысл принять  С = 0.

      Начало  первого разряда а_i принимают равным величине сдвига, т.е.

      а_i = С.

      Значение  b_k принимают из условия:

                                                (6)

      

        В нашем случае имеет смысл  принять b_k=600 ч. Тогда окончательно длина разряда определится из выражения:

                                                       (7)

      

 

      1.2.3 Построение таблицы статистического  ряда 

      Дальнейшие  расчеты сведены в таблицу 1,

где i – порядковый номер разряда;

a_i – начало i-го разряда;

b_i – конец i-го разряда;

l_i = b_i – a_i – длина i-го разряда;

- середина i-го разряда;

n_i – число объектов, сохранивших работоспособность в промежутке наработки от 0 до a_i;

n_i+1 – число объектов, сохранивших работоспособность в промежутке наработки от 0 до b_i;

m_i – частота или число отказавших объектов в i-ом разряде, т. е. в промежутке наработки от a_i до b_i;

 – частость или статистическая  вероятность отказа в i-ом разряде;

– накопленная частость или статистическая вероятность отказа в промежутке наработки от 0 до b_i;

 – статистическая вероятность  безотказной работы в промежутке  наработки от 0 до b_i;

 – статистическая интенсивность  отказов в i-ом разряде;

 – статистическая плотность  распределения наработки до отказа  в i-ом разряде.

;

;

      Таблица 1 – Статистический ряд наработки  до отказа

 

      Сумма отказов по всем разрядам равна общему числу испытываемых объектов, т. е.

                                                         (8)

      

      Значение  определяется из формулы:

                                                      (9)

т. е. если - это статистическая вероятность отказа только в i-ом разряде, или частотность, то - статистическая вероятность отказа нарастающим итогом или накопленная частотность, т. е. не что иное как статистическая функция распределения наработки до отказа . Поскольку n = const, выражение (9) примет вид:

                                          (10)

      Статистическая  вероятность безотказной работы находится вычитанием вероятности отказа из единицы:

                                                   (11)

      Если расчеты проведены правильно, то

                                               (12)

      

      Интенсивность отказов – отношение числа  объектов, отказавших за время какой-либо интервал времени, к среднему числу  объектов, находящихся в этом интервале в работоспособном состоянии, деленное на этот интервал времени, при условии, что отказавшие объекты не заменяются работоспособными:

                                                (13)

где средне число работоспособных в i-ом разряде объектов.

      

      

      

      

      

   1.2.4 Построение статистических графиков функции распределения и плотности распределения наработки до отказа 

      Представим  результаты расчетов в виде графиков (рисунки 1 и 2).

      График  представляет собой статистическую функцию распределения наработки до отказа, а - статистическую плотность распределения или гистограмму.  Площадь каждого прямоугольника гистограммы имеет определенный смысл, а именно – это статистическая вероятность попадания случайной величины в тот или иной разряд, что в нашем примере есть статистическая вероятность отказа в соответствующем разряде.

      Таким образом, по условиям построения полная площадь гистограммы равно единице  и по всем признакам гистограмма  есть не что иное, как статистическая плотность распределения наработки до отказа. 
 

          1.3 Определение математического  ожидания, среднеквадратического отклонения  и коэффициента вариации.

          Математическое ожидание случайной величины является важнейшей числовой характеристикой, указывающей на среднее значение этой случайной величины.

      Среднеквадратичное  отклонение характеризует разброс  значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

      При наличии статистического ряда оценку математического ожидания и среднеквадратического отклонения производят по формулам:

                                                  (14)

                                           (15)

      Произведем  расчеты в форме таблицы.

    Таблица 2 – К расчету и

      

      

      

      

       ;

      

      

      Относительный разброс характеризуется коэффициентом  вариации V:

                                                     (16)

      

      1.4 Определение закона распределения  наработки до отказа 

      1.4.1 Предварительные замечания 

      Представленные  на рисунках 1 и 2 статистические функции хотя и дают некоторое наглядное представление о надежности испытываемого объекта, вместе с тем они обладают двумя существенными недостатками.

      Первый  недостаток заключается в том, что  в статистических распределениях всегда присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число испытаний ограничено, что испытывались именно те, а не другие изделия данной марки, давшие именно те, а не другие результаты, что сами испытания могли содержать в себе неточности и ошибки измерений и т.д.

      Второй  недостаток состоит в том, что статистические характеристики не имеют аналитического выражения в функции наработки, что затрудняет их использование при расчетах на надежность.

      В связи с этим статистическое распределение  должно быть скорректировано таким образом, чтобы из него были исключены элементы случайности, и чтобы оно отражало лишь существенные черты статистического материала.

      Другими словами, по статистическому распределению  должен быть найден так называемый «теоретический» закон распределения  данной случайной величины. Эта задача решается в три этапа.

      На  первом этапе качественно определяется характер распределения, то есть решается какому закону подчиняется случайная величина; нормальному. экспоненциальному, закону Вейбулла и т.д.

      На  втором этапе определяются параметры выбранного закона распределения и строятся его теоретические графики.

      На  третьем этапе проверяется, соответствует  ли принятый теоретический закон распределения статистическим данным.