Контрольная работа по "Транспорту"

. (3.6)

Заменив в выражении (3.5) величину λ величиной 1 / Т₁, получим  . (3.7)

Таким образом, зная среднее время безотказной  работы Т₁ (или постоянную интенсивность отказов λ ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

Отметим, что  вероятность безотказной работы на интервале, превышающем среднее  время Т₁, при экспоненциальном распределении будет менее 0,368:

Р(Т₁) = = 0,368 (рис. 3.2).

Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т₁, то есть интервал времени на котором допустимо пользование экспоненциальной моделью, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели. Это легко обосновать, воспользовавшись дисперсией времени безотказной работы. Как известно [4, 13], если для случайной величины t задана плотность вероятности f(t) и определено среднее значение (математическое ожидание) Т₁, то дисперсия времени безотказной работы находится по выражению:

(3.8)

и для экспоненциального  распределения соответственно равна:

. (3.9)

После некоторых  преобразований получим:

. (3.10)

Таким образом, наиболее вероятные значения наработки, группирующиеся в окрестности Т₁, лежат в диапазоне , то есть в диапазоне от t = 0 до t = 2Т₁. Как видим, объект может отработать и малый отрезок времени и время

t = 2Т₁, сохранив λ = const. Но вероятность безотказной работы на интервале 2Т₁крайне низка:

.

Важно отметить, что если объект отработал предположим, время τ без отказа, сохранив λ = соnst, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким, как в момент первого включения λ = соnst.

Таким образом, отключение работоспособного объекта  в конце интервала  и новое его включение на такой же интервал множество раз приведет к пилообразной кривой  (см. рис. 3.3).

Другие распределения  не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: поскольку за все время t устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону. Конечно, никакой парадоксальности этот вывод не содержит, так как предположение об экспоненциальном распределении интервала безотказной работы означает, что устройство не стареет. С другой стороны, очевидно, что чем больше время, на которое включается устройство, тем больше всевозможных случайных причин, которые могут вызвать отказ устройства. Это весьма важно для эксплуатации устройств, когда приходится выбирать интервалы, через которые следует производить профилактические работы с тем, чтобы сохранить высокую надежность работы устройства. Этот вопрос подробно рассматривается в работе [1].

Модель экспоненциального  распределения часто используется для априорного анализа, так как позволяет не очень сложными расчетами получить простые соотношения для различных вариантов создаваемой системы. На стадии апостериорного анализа (опытных данных) должна проводиться проверка соответствия экспоненциальной модели результатам испытаний. В частности, если при обработке результатов испытаний окажется, что  , то это является доказательством экспоненциальности анализируемой зависимости.

На практике часто бывает, что λ≠const,однако, и в этом случае его можно применять для ограниченных отрезков времени. Это допущение оправдывается тем, что при ограниченном периоде времени переменную интенсивность отказов без большой ошибки можно заменить [12, 15] средним значением:

l (t) "lcр(t) = const.

Нормальное  распределение (распределение  Гаусса)

Нормальный закон  распределения характеризуется  плотностью вероятности вида

, (3.14)

где m_x, σ_x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе  надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m_x и σ_x.

Вероятность безотказной  работы определяется по формуле 

, (3.15)

а интенсивность  отказов - по формуле 

.

На рис. 3.5 изображены кривые λ(t), Р(t) и ƒ (t) для случая σ_t<< m_t, характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления [3].

В данном пособии  показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной  величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности [4, 9, 11, 13, 15, 21]: гамма-распределение,  -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Следует отметить, что если неравенство σ_t<< m_t не соблюдается, то следует использовать усеченное нормальное распределение [19].

Для обоснованного  выбора типа практического распределения  наработки до отказа необходимо большое  количество отказов с объяснением  физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время  эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть  первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в [13,15], при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений. 
 
 
 

3. Интенсивность отказов λ (t), параметр потока отказов ω(t). Графическое их изображение.

Интенсивность отказов

Интенсивность отказов - это условная плотность  вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил. Из вероятностного определения следует, что

. (2.8)

Статистическая оценка интенсивности отказов имеет вид :

, (2.9)

где  - число отказов однотипных объектов на интервале  , для которого определяется  ;  - число работоспособных объектов в середине интервала  (см. рис. 2.2).

,

где N_i - число работоспособных объектов в начале интервала  ;  
- число работоспособных объектов в конце интервала  .

Если интервал  уменьшается до нулевого значения ( ),то

, (2.10)

где N_о - количество объектов, поставленных на испытания;  - интервал, продолжающий время t;  - количество отказов на интервале  .

Умножив и поделив  в формуле (2.10) правую часть на N_о и перейдя к предельно малому значению ∆ t, вместо выражения (2.9), получим

где  а 

Следовательно,

,

что и записано в вероятностном определении  λ (t), см. выражение (2.8).

Решение [13] выражения (2.8) дает:

или  . (2.11)

Выражение (2.11) показывает связь λ (t) и P(t). Из этой связи ясно видно, что по аналитически заданной функции λ (t) легко определить P(t) и Т₁:

. (2.12)

Если при статистической оценке  время эксперимента разбить на достаточно большое количество одинаковых интервалов λ t за длительный срок, то результатом обработки опытных данных будет график, изображенный на рис. 2.3.

Как показывают многочисленные данные анализа надежности большинства объектов техники, в  том числе и электроустановок, линеаризованная обобщенная зависимость  λ (t) представляет собой сложную кривую с тремя характерными интервалами (I, II, III). На интервале II (t₂ - t₁) λ = const. Этот интервал может составлять более 10 лет [8], он связан с нормальной эксплуатацией объектов. Интервал I (t₁ - 0) часто называют периодом приработки элементов. Он может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от уровня организации отбраковки элементов на заводе-изготовителе, где элементы с внутренними дефектами своевременно изымаются из партии выпускаемой продукции. Величина интенсивности отказов на этом интервале во многом зависит от качества сборки схем сложных устройств, соблюдения требований монтажа и т.п. Включение под нагрузку собранных схем приводит к быстрому "выжиганию" дефектных элементов и по истечении некоторого времени t₁ в схеме остаются только исправные элементы, и их эксплуатация связана с λ = const. На интервале III (t > t₂) по причинам, обусловленным естественными процессами старения, изнашивания, коррозии и т.д., интенсивность отказов резко возрастает, увеличивается число деградационных отказов. Для того, чтобы обеспечить λ = const необходимо заменить неремонтируемые элементы на исправные новые или работоспособные, отработавшие время t λ; λ t₂. Интервал  
λ = const cоответствует экспоненциальной модели распределения вероятности безотказной работы. Эта модель подробно проанализирована в подразделе 3.2. Здесь же отметим, что при λ = const значительно упрощается расчет надежности и λ наиболее часто используется как исходный показатель надежности элемента [14, 18, 19].

Средняя наработка на отказ

      Этот показатель относится к восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и продолжает работу до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений - поток восстановлений.        Средняя наработка на отказ объекта (наработка на отказ) определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов, происшедших за суммарную наработку:

, (2.13)

где t_i - наработка между i-1 и i-м отказами, ч; n(t) - суммарное число отказов за время t.

Параметр  потока отказов

Этот показатель также характеризует восстанавливаемый  объект и по статистическим данным определяется с помощью формулы:

, (2.14)

где n(t₁) и n(t₂) - количество отказов объекта, зафиксированных соответственно, по истечении времени t₁ и t₂.

Если используются данные об отказах по определенному  количеству восстанавливаемых объектов, то

, (2.15)

где  - количество отказов по всем объектам за интервал времени  ; N_о - количество однотипных объектов, участвующих в эксперименте (отказавший объект восстанавливается, N_о = соnst). Нетрудно увидеть, что выражение (2.14) похоже на выражение (2.8) с той лишь разницей, что при определении  предполагается моментальное восстановление отказавшего объекта или замена отказавшего однотипным работоспособным, то есть N_о = соnst.

Параметр потока отказов представляет собой плотность  вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта. Отказы объектов возникают в случайные моменты  времени и в течение заданного  периода эксплуатации наблюдается  поток отказов. Существует множество математических моделей потоков отказов. Наиболее часто при решении задач надежности электроустановок используют простейший поток отказов - пуассоновский поток [13, 15]. Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствия последствия.