Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный  из первой коробки, и он белый -

     Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный  из второй коробки, и он белый -

     Вероятность того, что повторно будет выбран белый шар, равна

     

     Пример 3. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наугад выбранной винтовки.

     Вероятность того, что выбрана винтовка с оптическим прицелом, обозначим  , а вероятность того, что выбрана винтовка без оптического прицела, обозначим  .

     Вероятность того, что выбрали винтовку с оптическим прицелом, и при этом цель была поражена , где Р(ПЦ/O) – вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом.

     Аналогично, вероятность того, что выбрали  винтовку без оптического прицела, и при этом цель была поражена  , где Р(ПЦ/БO) – вероятность поражения цели из винтовки без оптического прицела.

     Окончательная вероятность поражения цели равна  сумме вероятностей Р₁ и Р₂, т.к. для поражения цели достаточно, чтобы произошло одно из этих несовместных событий.

     

          Пример 4. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5. В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться формулой Бейеса. В нашем случае она имеет вид:

       

     В этой формуле Н₁, Н₂, Н₃ – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их вероятность равна  .

     P(H₁/A) – вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы уже произведены (событие А).

     Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок, вычисленные  до выстрелов, равны соответственно:

     

     

     

     Здесь q₁ = 0,7; q₂ = 0,6; q₃ = 0,5 – вероятности промаха для каждого из стрелков, рассчитаны как q = 1 – p, где р – вероятности попадания для каждого из стрелков.

     Подставим эти значения в формулу Бейеса:

     

     Пример 5. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

     Событие приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях:

     

     

     

     

     Для приема трех сигналов необходимо совершение одного из событий А, В, С или D. Таким образом, находим искомую вероятность:

     

     Пример 6. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

     В общей сложности имеется 40 вопросов (по 2 в каждом из 20 билетов). Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен, очевидно, равна  .

     Для того, чтобы сдать экзамен, требуется  совершение одного из трех событий:

     1) Событие A – ответили на первый вопрос (вероятность  ) и ответили на второй вопрос (вероятность  ). Т.к. после успешного ответа на первый вопрос остается еще 39 вопросов, на 34 из которых ответы известны. 

     

     2) Событие В – на первый вопрос  ответили (вероятность  ), на второй – нет (вероятность  ), на третий – ответили (вероятность  ). 

     

     3) Событие С – на первый вопрос  не ответили (вероятность  ), на второй – ответили (вероятность  ), на третий – ответили (вероятность  ).

     

     Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан равна:

     

Биноминальное распределение

     Если  производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.

     Примем  число появлений события в  каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х.

     Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.

     Значения  найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз. Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.

       

     Эта формула аналитически выражает искомый  закон распределения. Этот закон  распределения называется биноминальным.

     Пример 1. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный  закон распределения дискретной случайной величины Х – числа  нестандартных деталей среди  четырех отобранных и построить  многоугольник полученного распределения.

     Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности  того, что среди отобранных деталей:

     1) Вообще нет нестандартных. 

     

     2) Одна нестандартная.

          

     3) Две нестандартные детали.

     

     4) Три нестандартные детали.

     

     5) Четыре нестандартных детали.

     

     Построим  многоугольник распределения.

       

           Пример 2. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

     Каждая  игральная кость имеет три  варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести  возможных, таким образом, вероятность  выпадения четного числа очков  на одной кости равна 0,5.

     Вероятность одновременного выпадения четных очков  на двух костях равна 0,25.

     Вероятность того, что при двух испытаниях оба  раза выпали четные очки на обеих костях, равна:

     

     Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих  костях:

     

     Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях:

     

Распределение Пуассона

     Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p£0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:

     

     Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.

     По формуле Бернулли получаем:

     

     

     Найдем предел этой вероятности:

     

     Получаем формулу распределения Пуассона:

       

Распределение Вейбулла

Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени (рис. 3.1), соответствующих трем периодам жизни этих устройств [3, 8, 10, 19].

Нетрудно увидеть, что этот рисунок аналогичен рис. 2.3, так как график функции λ (t) соответствует закону Вейбулла. Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла [12, 13, 15]. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

, (3.1)

где δ - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных, δ > 0); δ - параметр масштаба,

.

Интенсивность отказов определяется по выражению 

(3.2)

Вероятность безотказной  работы

, (3.3)

а средняя наработки  до отказа

. (3.4)

Отметим, что  при параметре δ= 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при δ= 2 - в распределение Рэлея.

При δ<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при  монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра δ можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую λ (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме [12].

Экспоненциальное  распределение

Как было отмечено в подразд. 3.1 экспоненциальное распределение  вероятности безотказной работы является частным случаем распределения  Вейбулла, когда параметр формы δ = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра λ = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

. (3.5)

Среднее время  безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала  безотказной работы выражается формулой: