Критерии принятия решений

     1.2. Критерий Сэвиджа.

С помощью обозначения 

     аij=max eij – eij – это                       eir=maxaij = max(max eij-eij),

     формируется оценочная функция  

     Zs=min eir = min [max (maxe_ij – e_ij)]

     Соответствующее правило выбора теперь интерпретируется так:

     Каждый  элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Эти разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбираются те решения Е_io, в строках которых стоит наименьшее значение  для этого столбца

и строится множество оптимальных вариантов  решения 

 

Для понимания  этого критерия определяемую соотношением  величину aij = max e_ij - e_ij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии F_j вместо варианта E_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретировать a_ij и как потери (штрафы), возникающие в состоянии F_i при замене оптимального для него варианта на вариант E_i. Тогда определяемая соотношением величина e_ir представляет собой — при интерпретации а_ij в качестве потерь—максимальные возможные (по всем внешним состояниям F_j, j==1, ..., n) потери в случае выбора варианта E_i. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта E_i.

       Соответствующее S-критерию правило  выбора теперь интерпретируется так:

 каждый  элемент матрицы решений ||e_ij|| вычитается из наибольшего результата max e_ij соответствующего столбца.                       

Разности  a_ij образуют матрицу остатков ||a_ij|| Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir. Выбираются те варианты E_io, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

       По выражению оценивается значение  результатов тех состояний, которые,  вследствие выбора соответствующего  распределения вероятностей, оказывают  одинаковое влияние на решение, с точки зрения результатов матрицы ||e_ij|| S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||a_ij|| он от риска свободен.

   

          1.3. Критерий Байеса-Лапласа.

     Этот  критерий учитывает каждое из возможных  следствий. Пусть qj – вероятность появления внешнего состояния F_j, тогда для этого критерия оценочная функция запишется так: 

     Z_BL=max eir,        eir=  åeijqj. 

     Тогда правило выбора будет записано так:

     Матрица решений дополняется еще одним  столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты E_io, в строках которых стоит наибольшее значение e_ir этого столбца. 
 

   1.4. Расширенный минимаксный критерий.

         В нем используются простейшие  понятия теории вероятностей, а  также, в известном смысле, теории игр. В технических приложениях этот критерий до сегоднешнего времени применяется мало.

Основным здесь  является предположение о том, что  каждому из n возможных внешних состояний Fj приписана вероятность его появления : 0< q<1. 

      Тогда расширенный ММ-критерий формулируется следующим образом: 

  

где р—вероятностный  вектор для E_i , a  q—вероятностный вектор для F_j.

     Таким образом, расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение  E_i вероятностей на множестве вариантов, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний F_j. Поэтому предполагается, что F_j распределены наименее выгодным образом.  
 
 

     1.5.Критерий произведений.

     С самого начала этот критерий ориентирован на величины выигрышей, то есть на положительные значения величины е

     Определим оценочную функцию:

        

     Zp=max eir. 

       Привило выбора в этом случае  формулируется так:

     Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов  каждой строки. Выбираются те варианты Еiо, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

      Применение  этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

     Вероятности появления состояний Fj неизвестны; с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться; критерий применим при малом числе реализаций решения; некоторый риск допускается.

     Как уже упоминалось, этот критерий приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если указанное условие нарушается, а этот критерий приходится применять и в этом случае, то следует выполнить некоторый сдвиг eij+a с некоторой константой а > | min eij |. Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этого значения а. На практике в качестве значения, а охотно используют величину | min eij | + 1. Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам этот критерий не применим.

     Выбор оптимального решения согласно критерию произведений оказывается значительно  минее пессимистическим, чем, например, выбор в соответствии с минимаксным критерием. В результате применения критерия произведений происходит некоторое выравнивание между большими и малыми значениями eij, и, устанавливая оптимальный вариант решения с помощью этого критерия, мы можем при фиксированных состояниях Fj получить большую выгоду, чем при использовании минимаксного критерия, но при этом должна учитываться возможность появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого критерия ни число реализаций, ни информация о распределении вероятностей не принимаются во внимание.  

     1.6.Критерий Гермейера.

     Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию  эффективных и пригодных к  компромиссу решений в области  полиоптимизации – т.е. всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, - можно предположить еще один критерий, обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения eij.

     В качестве оценочной функции выступает

     Z_G=max eij

     Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие eij<0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин eij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования eij - а при подходящим образом подобранном а>0.

     Правило выбора согласно критерию Гермейера  формулируется следующим образом:

     Матрица решений дополняется еще одним  столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в  ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те решения Еiо, в строках которых находится наибольшее значение eir этого столбца. 

     1.7.Критерий Гурвица.

     Стараясь  занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий, оценочная  функция которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма: 

             ZHW=max eir.

     Правило выбора согласно HW-критерию формулируется  так:

     Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наибольшего  и наименьшего результатов для каждой строки. Выбираются те варианты Eio, в строках которых стоят наибольшие элементы eij этого столбца. В технических приложениях правильно выбрать множитель с бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель с=0,5 без возражений принимается в качестве некоторой «средней» точки зрения. При обосновании выбора применяют обратный порядок действий. Для приглянувшегося решения вычисляется весовой множитель с, и он интерпретируется как показатель соотношения оптимизма и пессимизма. Таким образом, позиция исходя из которых принимаются решения, можно рассортировать, по крайней мере, задним числом.

      Этот критерий предъявляет к  ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

     О вероятностях появления состояния Fj ничего не известно; с появлением состояния Fj необходимо считаться; реализуется  лишь малое количество решений; допускается некоторый риск 

     1.8. Составной критерий  Байеса-Лапласа минимаксный.  

     Стремление  получить критерии, которые бы лучше  приспосабливались к имеющейся  ситуации, чем все до сих пор  рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев.

      Исходным  для построенного был BL-критерий Вследствие того, что распределение q=(q₁, ..., q_n) устанавливается эмпирически и потому известно неточно, происходит, с одной стороны, ослабление критерия, а с другой, напротив, с помощью заданных границ для риска и посредством MM-Kритерня обеспечивается соответствующая свобода действий. Точные формулировки состоят в следующем.

      Зафиксируем прежде всего задаваемое ММ-критерием  опорное значение:

      

      где i₀ и j₀—оптимизирующие индексы для рассматриваемых вариантов решений и, соответственно, состояний.

      Посредством некоторого заданного или выбираемого  уровня допустимого риска E_доп>0 определим некоторое множество согласия, являющееся подмножеством множества индексов {1, ... ..., т}:

      

      Величина  E_i:=e_i0j0 - min_je_ij для всех i I₁ характеризует наибольшие возможные потери в сравнении со значением e_i0j0, задаваемым ММ-критерием. С другой стороны, в результате такого снижения открываются и возможности для увеличения выигрыша по сравнению с тем, который обеспечивается ММ-критерием. Поэтому мы рассматриваем также (опять-таки как подмножество множества {1, ..., m}) некоторое выигрышное множество 

      

 

       Тогда в множество-пересечение  I₁ I₂ мы соберем только такие варианты решений, для которых, с одной стороны, в определенных состояниях могут иметь место потери по сравнению с состоянием, задаваемым ММ-критерием, но зато в других состояниях имеется по меньшей мере такой же прирост выигрыша. Теперь оптимальными в смысле BL (ММ)-критерия будут решения