Финансовые риски в страховом бизнесе: модели и методы оценки

1)анализируется  фиксированный относительно короткий  промежуток времени (так чтобы  можно было пренебречь инфляцией  и не учитывать доход от  инвестирования активов), обычно это один год; 

2)число договоров  страхования N фиксировано и неслучайно; 

3)премия полностью  вносится в начале анализируемого  периода; никаких поступлений  в течение этого периода нет; 

4)наблюдается  каждый отдельный договор страхования, при этом известны статистические свойства связанных с ним индивидуальных потерь X. 

Достаточность резерва оценивается с помощью  пороговой вероятности того, что  собранных средств хватит для  покрытия совокупных выплат в течение  исследуемого периода. При этом в зависимости от имеющейся информации эта оценка может делаться как на основе вида функции распределения, так и на основе неравенства Чебышева [3]. 

Достоинством  данного подхода является то, что  в ряде случаев оценить параметры  распределения таких случайных величин проще для каждого отдельного страхового риска, особенно в имущественном страховании, где риски часто уникальны. 

Риск по страховому портфелю в целом можно оценить  как сопоставлением случайной величины обязательств с полученной премией  и резервами, так и анализом случайной величины дисконтного превышения доходов страховой компании (полученными премиями) над расходами (обязательствами). 

Теория коллективного  риска исходит из рассмотрения всех принятых на страхование рисков, определяющих совокупный объем страховых выплат. С математической точки зрения совокупный объем страховых выплат по каждому риску рассматривается как сумма случайных величин, соответствующих фактическим выплатам. 

При этом рассматривают  статические и динамические модели, отличие которых состоит в том, что в динамических моделях учтена зависимость от времени (динамика риска) по сборам и выплатам страховой компании. 

Обычно статическую  модель финансового состояния страховой  компании записывают в форме равенства [1]: 

(1)

Q 1 = u + D — X  

где Q — страховой  фонд на конец рассматриваемого периода; u — начальный капитал страховой  компании (в различных источниках именуемый также как начальный  резерв страховой компании); D = d · N , где d — страховая премия, выплаченная  компании одним страхователем, при условии равенства величины премии по всем договорам страхования, или в более общем случае   

Суммарная величина выплат по договорам страхования  определяется суммой 

(2)

  

Обычно предполагается, что в модели индивидуального  риска случайные величины X 1 ..., X N независимы (т. е. исключаются события, когда одновременно по нескольким договорам наступают страховые случаи), неотрицательны и ограничены, и, кроме того, все страхователи однородны, т. е. X 1 ..., X N одинаково распределены. Поскольку страховые случаи происходят не по всем договорам, то некоторые из случайных величин X 1 ..., X N , где X i — потери по i -му договору, равны нулю. 

Динамическая  модель финансового состояния страховой  компании записывается в форме равенства, аналогичного (1) [9]: 

(3)

  

где П( t ) — величина премии, полученной к моменту t > 0. 

Или, иначе, 

(4)

  

где W ( t ) — случайная  величина превышения доходов над  расходами, определяется как техническая  прибыль; N ( t ) — случайный процесс  количества страховых случаев, произошедших к моменту времени t ; при неубывающей последовательности случайных величин t 0 = 0 ≤ t 1 ≤..., характеризующей моменты наступления отдельных исков; T n = t n – t n –1 , n ≥ 0, — время между наступлениями исков; общее количество поданных исков к моменту t 0 составит N ( t ) = sup { n : t n ≤ t }. Между случайными величинами N ( t ) и последовательностью { t n } имеется взаимосвязь { N ( t ) = n } = t n ≤ t ≤ t n + 1 }; С — норма рисковой премии, получаемой по всем договорам в каждый момент времени; X i ( t ) — случайный процесс величины ущерба по i -му страховому случаю, произошедшему до момента времени t . При N ( t ) = 0 очевидно, что X ( t ) = 0. 

Случайный процесс 

(5)

  

в экономико-математических исследованиях называют процессом  риска [4]. 

Традиционной  мерой риска и ключевым понятием задачи о разорении в страховании  считается вероятность разорения ( ruin ) . 

Для статической  модели финансовой устойчивости страховщика  указанная вероятность с учетом равенства (1) формально может быть определена как 

(6)

  

т. е. как вероятность  того, что совокупные выплаты превысят активы компании. 

Для динамической модели устойчивости страховщика вероятность  разорения может быть представлена следующим выражением: 

(7)

φ ( u ) = P [ᴲ t 0 < ∞ : t 0 = min{ t : u + W ( t ) < 0}]  

т. е. как вероятность  того, что имеющихся средств в  какой-либо момент времени бесконечного промежутка не хватит для осуществления  страховых выплат, или для конечного  интервала [0,T] 

(8)

φ ( u , T ) = P [ᴲ t 0 : 0 ≤ t 0 ≤ T , t 0 = min{ t : u + W ( t ) < 0}]  

где T — некоторый  временной «горизонт». 

Оценка вероятности  разорения страховщика для конечного  периода времени в большей  степени соответствует практике, в то же время для бесконечного интервала получить аналитическую  оценку проще. 

О величинах N ( t ) , определяющих количество требований (исков), предполагается, что: 

(9)

1) N ( t ) = 0;

2) N ( t ) є {0, 1, 2, ...};

3) N ( t ) < N ( t + h ) .  

Таким образом, величина N ( t + h ) – N ( t ) определяет число  исков, поступивших в промежутке времени ( t , t + h ). 

Графически достаточно упрощенный временной процесс предъявления исков страхователей изображен  на рис. 1.

  
 

Обычно предполагается, что скачки имеют величину 1 и  поэтому возможность одновременной  подачи нескольких исков исключена. Введем распределение N ( t ) : 

(10)

  

Вероятности P ( t ) могут быть вычислены при дополнительных предположениях относительно последовательности Т n . 

Если случайные  величины Тn независимы и одинаково  распределены с соответствующей  функцией распределения, то последовательность { t n } называется процессом восстановления . 

Типичный пример процесса восстановления — пуассоновский , когда Т n распределены по экспоненциальному  закону с параметром λ > 0, и, следовательно, распределение N ( t ) имеет вид 

(11)

  

При этом EN ( t ) = λ · t , N ( t ) = λ · t .  

На рис. 2 приведены  значения этих вероятностей для λ = 2 с точностью до 0,0001.

  
 

Из графиков видно, что вероятность разорения  тем меньше, чем больше коэффициент k . 

Выплаты по искам  естественно предполагать случайными величинами , которые представляют одну из ключевых составляющих моделирования риска в страховании . В данной модели считается, что выплаты по искам производятся непосредственно в момент их подачи, хотя реально между подачей иска и его оплатой существует некоторая задержка, связанная с подсчетом ущерба, которая может оказаться существенной. Подобная ситуация характерна, например, для страхования от катастроф. 

Точное распределение  рисков обычно неизвестно, однако принимается, что оно принадлежит некоторому параметрическому семейству, и первичная задача — оценить его неизвестные параметры. 

Обозначим функцию  распределения страховых выплат процесса риска 

(12)

  

Функция F X ( t ) ( x ) не может быть вычислена без  дополнительных предположений. Обычно процессы { U n } и N ( t ) считаются независимыми, хотя в некоторых практически важных случаях это не так. Например, при страховании от дорожных происшествий известно, что зимой случается больше аварий, чем летом, ввиду худшего состояния дорожного покрытия, но ущерб от них может быть меньше, поскольку средняя скорость движения зимой ниже. 

Если { Un } и N ( t ) независимы, то можно записать выражение  для функции распределения процесса риска через распределения моментов и размеров исков: 

(13)

  

где из условия  финансовой устойчивости функция распределения  риска

  
 

Экономический смысл условия неразорения страховой  компании, т. е. ее финансовой устойчивости, который логично извлекается  из приведенных выше формул, заключается  в следующем: ни одна выплата не изымет из страхового фонда компании такую сумму, что оставшейся суммы начального резерва и страховых премий не хватит на следующую выплату. 

Как правило, страховые  премии поступают гораздо чаще, чем  предъявляются требования, и их размер обычно намного меньше размера возмещений. Поэтому в рамках данной модели поступление премий считается непрерывным детерминированным процессом, характеризующимся одним параметром — скоростью поступления денежных средств с . То есть премия страховщика определяется равенством 

(14)

П( t ) = c · t .  

В динамической постановке задачи неразорение ставится в зависимость от двух параметров — начального (капитала) резерва  и надбавки безопасности при расчете  страховой премии.

Математические  методы и принципы расчета страховой премии 

Одним из основных параметров, определяющих финансовую устойчивость страховой компании и  состояние ее активов, является размер тарифных ставок. Расчет премий , или  нахождение процесса П( T ) , — одна из сложных и практически необходимых  задач. Тарифная ставка (премия) для страховой компании — это определенная цена неопределенного обязательства. Как уже отмечалось, с одной стороны, премии должны гарантировать выплаты по искам, с другой — в них желательно учитывать условия конкуренции, когда другие компании могут привлечь клиентов теми же гарантиями, но более низкими премиями. 

Расчет тарифных ставок, как правило, проводится на основе накопленной статистики [5]. В  отличие от этого метода существует метод расчета ставок на основе функции  полезности [8]. В его основе лежат не столько статистические характеристики портфеля, сколько соотношения денежных предпочтений компании и страхователя. Для применения данного метода необходимо иметь четкую систему оценки компанией предпочтительности одной суммы денег по сравнению с другой, что не представляется возможным в реальных условиях развития страхового рынка в РФ. Поэтому далее рассматриваются методы расчета тарифных ставок на основе имеющейся у компании статистики.  

Страховые премии П на временном промежутке [0, t ] вычисляются следующим образом:  

(15)

П( t ) = (1 + θ ) · EN ( t ) · EU ,  

где U имеет то же распределение, что и U i ; θ —  константа, называемая коэффициентом  нагрузки . 

Такая структура  премии вытекает из принципов эквивалентности  отношений страховщика и страхователя и финансовой устойчивости страховой компании. Приведенная формула (15) означает, что в среднем общие премии должны быть больше, чем кумулятивные выплаты по искам (в случае равенства премия называется нетто-премией , а сам принцип исчисления нетто-премии — принципом эквивалентности ). 

Есть и другие принципы формирования премий, например bonus - malus система , когда держатели  страховых полисов распределены на несколько групп в зависимости  от предыстории подач исков и  могут быть перемещены из одной группы в другую. Типичный пример — автомобильное страхование: если автовладелец в течение определенного «страхового» времени не предъявлял исков, то он может быть переведен в группу клиентов, платящих меньшую премию.