Финансовые риски в страховом бизнесе: модели и методы оценки

Типичный пример процесса восстановления — пуассоновский , когда Т n распределены по экспоненциальному  закону с параметром λ > 0, и, следовательно, распределение N ( t ) имеет вид 

(11)

  

При этом EN ( t ) = λ · t , N ( t ) = λ · t .  

На рис. 2 приведены  значения этих вероятностей для λ = 2 с точностью до 0,0001.

  
 

Из графиков видно, что вероятность разорения  тем меньше, чем больше коэффициент k . 

Выплаты по искам  естественно предполагать случайными величинами , которые представляют одну из ключевых составляющих моделирования риска в страховании . В данной модели считается, что выплаты по искам производятся непосредственно в момент их подачи, хотя реально между подачей иска и его оплатой существует некоторая задержка, связанная с подсчетом ущерба, которая может оказаться существенной. Подобная ситуация характерна, например, для страхования от катастроф. 

Точное распределение  рисков обычно неизвестно, однако принимается, что оно принадлежит некоторому параметрическому семейству, и первичная задача — оценить его неизвестные параметры. 

Обозначим функцию  распределения страховых выплат процесса риска 

(12)

  

Функция F X ( t ) ( x ) не может быть вычислена без  дополнительных предположений. Обычно процессы { U n } и N ( t ) считаются независимыми, хотя в некоторых практически важных случаях это не так. Например, при страховании от дорожных происшествий известно, что зимой случается больше аварий, чем летом, ввиду худшего состояния дорожного покрытия, но ущерб от них может быть меньше, поскольку средняя скорость движения зимой ниже. 

Если { Un } и N ( t ) независимы, то можно записать выражение  для функции распределения процесса риска через распределения моментов и размеров исков: 

(13)

  

где из условия  финансовой устойчивости функция распределения риска

  
 

Экономический смысл условия неразорения страховой  компании, т. е. ее финансовой устойчивости, который логично извлекается  из приведенных выше формул, заключается  в следующем: ни одна выплата не изымет из страхового фонда компании такую сумму, что оставшейся суммы начального резерва и страховых премий не хватит на следующую выплату. 

Как правило, страховые  премии поступают гораздо чаще, чем  предъявляются требования, и их размер обычно намного меньше размера возмещений. Поэтому в рамках данной модели поступление премий считается непрерывным детерминированным процессом, характеризующимся одним параметром — скоростью поступления денежных средств с . То есть премия страховщика определяется равенством 

(14)

П( t ) = c · t .  

В динамической постановке задачи неразорение ставится в зависимость от двух параметров — начального (капитала) резерва и надбавки безопасности при расчете страховой премии.

Математические  методы и принципы расчета страховой  премии 

Одним из основных параметров, определяющих финансовую устойчивость страховой компании и состояние ее активов, является размер тарифных ставок. Расчет премий , или нахождение процесса П( T ) , — одна из сложных и практически необходимых задач. Тарифная ставка (премия) для страховой компании — это определенная цена неопределенного обязательства. Как уже отмечалось, с одной стороны, премии должны гарантировать выплаты по искам, с другой — в них желательно учитывать условия конкуренции, когда другие компании могут привлечь клиентов теми же гарантиями, но более низкими премиями. 

Расчет тарифных ставок, как правило, проводится на основе накопленной статистики [5]. В  отличие от этого метода существует метод расчета ставок на основе функции  полезности [8]. В его основе лежат  не столько статистические характеристики портфеля, сколько соотношения денежных предпочтений компании и страхователя. Для применения данного метода необходимо иметь четкую систему оценки компанией предпочтительности одной суммы денег по сравнению с другой, что не представляется возможным в реальных условиях развития страхового рынка в РФ. Поэтому далее рассматриваются методы расчета тарифных ставок на основе имеющейся у компании статистики.  

Страховые премии П на временном промежутке [0, t ] вычисляются  следующим образом:  

(15)

П( t ) = (1 + θ ) · EN ( t ) · EU ,  

где U имеет то же распределение, что и U i ; θ —  константа, называемая коэффициентом  нагрузки . 

Такая структура  премии вытекает из принципов эквивалентности  отношений страховщика и страхователя и финансовой устойчивости страховой компании. Приведенная формула (15) означает, что в среднем общие премии должны быть больше, чем кумулятивные выплаты по искам (в случае равенства премия называется нетто-премией , а сам принцип исчисления нетто-премии — принципом эквивалентности ). 

Есть и другие принципы формирования премий, например bonus - malus система , когда держатели  страховых полисов распределены на несколько групп в зависимости  от предыстории подач исков и  могут быть перемещены из одной группы в другую. Типичный пример — автомобильное страхование: если автовладелец в течение определенного «страхового» времени не предъявлял исков, то он может быть переведен в группу клиентов, платящих меньшую премию. 

Вычисление адекватной премии состоит в построении процесса П( t ) по функции распределения процесса риска F x ( t ) . При этом важно стремиться вычислить премию по возможно более простым характеристикам процесса x : математическому ожиданию и дисперсии. Чтобы подчеркнуть определяющее влияние риска на формирование премий, обозначим зависимость премий от риска X через П( Х ) или же П( F x ), где F x — функция распределения x . 

Отметим общие  свойства премий: 

П( а ) = а для  любой константы а , если отсутствует  коэффициент 

нагрузки; 

П( а · Х ) = а · П( Х ) для любой константы а ; 

П( X + Y ) < П( X ) + П( Y ); 

П( Х + а ) = П( Х ) + а для любой константы а ;

  

Приведем следующие  традиционные актуарные принципы формирования премий : 

П( Х ) = (1 + а ) ·  ЕХ , а > 0 (принцип математического  ожидания); 

П( Х ) = EX + a · DX (принцип дисперсии);

  
 

П( X ) = EX + a · k x , (принцип  абсолютного отклонения). 

Для заданной функции  полезности V часто используется принцип  нулевой полезности , означающий, что  премия определяется из отношения Е ( V (П( Х ) — Х )) = V ( 0 ). 

Рассмотрим индивидуальную модель риска . Пусть портфель состоит из n полисов с выплатами («рисками») U 1 , U 2 , ..., U n , представляющими независимые неотрицательные случайные величины. Тогда процесс риска имеет распределение F U 1 · ... · F Un . 

Допустим, что страховая компания заключает n договоров страхования с фиксированным сроком действия, например 1 год. По одному договору страхования допускается не более одного иска. Выплаты по i -му иску — случайная величина U i , которая может оказаться равной нулю. Тогда сумма, которую компания выплачивает клиентам в конце этого года, и есть в данном случае процесс риска: . Предполагается, что возмещение ущерба по искам производится в момент окончания срока действия полиса. Соответственно вероятностью разорения следует считать p { X ind > u + П}, где u — начальный капитал; П — собранные за этот срок премии. 

Рассмотрим модель индивидуального риска с достаточно большим числом договоров n . Точный расчет вероятности разорения представляет существенные технические трудности, поэтому используют ее приближение на основе центральной предельной теоремы. 

Принцип нетто-премии приводит к равенству П = EX ind . Тогда  для вероятности разорения находим, что 

(16)

  

Таким образом, принцип нетто-премии в данном случае неприемлем , так как с позиции финансовой устойчивости неприемлема величина вероятности разорения страховой компании. То есть необходимо введение рисковой надбавки с целью выполнения условия финансовой устойчивости, заключающегося в том, что собранных премий должно хватить на выплату возмещений с вероятностью, близкой к единице.  

Согласно принципу стандартного отклонения  

(17)

  

Далее, для фиксированного уровня риска ε из специальных  таблиц можно найти параметр а * такой, что Ф( а *)=1– ε. Тогда, полагая  а = а *, находим такую премию с нагрузкой, при которой обеспечивается вероятность разорения P { X ind > П} ≈ε. 

Таким образом, определение нетто-премии является обратной задачей к условию финансовой устойчивости, т. е. неразорения.

Методы вычисления вероятности разорения страховой компании 

В моделях индивидуального  риска, рассмотренных выше, исследуются  отдельные договоры и связанные  с ними возможные выплаты. Для  получения характеристик портфеля в целом суммируются характеристики отдельных договоров. С формальной точки зрения получается простая модель в том случае, если любой из договоров портфеля может привести только к одному требованию о выплате или не привести к нему. Только такие договоры и связанные с ними риски рассматривает модель индивидуального риска. Тем не менее известно, что в большинстве видов имущественного страхования один договор может привести к нескольким требованиям. Такие договоры и связанные с ними риски исследуются в моделях коллективного риска. 

Пусть теперь количество полисов N , которые могут быть предъявлены к оплате, неизвестно. При этом выделим два типа контрактов — статический и динамический. Статический контракт характеризуется тем, что оплата иска происходит в конце контракта и поэтому N — целочисленная случайная величина. При рассмотрении динамических моделей N = N ( t ) — случайный процесс, считающий количество исков на промежутке [0, t ]. Величины выплат по i -му поступившему иску U i положительны и не зависят от N . Тогда процесс риска имеет вид

  
 

Ситуация, в которой  момент поступления очередного иска заранее неизвестен, в большей степени отражает реальные явления в страховании, и с помощью этой модели можно добиться большей динамики при управлении риском компании. Поступление исков моделируется пуассоновским процессом N ( t ) с интенсивностью λ. Размеры выплат — независимые одинаково распределенные случайные величины, которые также не зависят от N ( t ) . Накопленные к моменту t премии являются линейной функцией времени в соответствии с равенством (14). Процесс риска  в этом случае называется сложным пуассоновским процессом . 

Кроме того, компания получает страховые взносы от клиентов с интенсивностью с ( с — некоторая  положительная постоянная). Начальный  капитал равен u .  

Процесс риска  в данном случае . В силу независимости N ( t ) и X i имеем EX ( t ) = λ · t · μ . Премии, собранные к моменту t , П( t ) = c · t — линейная функция времени. 

Выбирая коэффициент  нагрузки 

(18)

  

получаем равенство, определяющее скорость поступления  премий: 

(19)

с = (1 + θ) · λ  · μ .  

Коэффициент нагрузки θ задает долю превышения скорости поступления премий над скоростью выплаты страховых возмещений. В исследованиях некоторых авторов [1, 5] коэффициент нагрузки называется надбавкой безопасности. 

Таким образом, определив по эмпирическим данным параметр θ и рассчитав затем поправочный коэффициент в зависимости от уровня начального резерва (капитала) u , можно оценить верхнюю границу разорения (19) и соответственно нижнюю границу вероятности неразорения. 

Общим выводом  приведенной модели является то, что  вероятность неразорения тем больше, чем больше поправочный коэффициент. То есть поправочный коэффициент, учитывающий скорость поступления требований, скорость поступления премий, распределения размеров убытков, является интегральной характеристикой возможности выполнения страховой компанией своих обязательств. Следует отметить, что данная модель имеет существенную особенность. В ней исследуется динамический процесс, который составляют поступления премий по вновь заключенным договорам и выплаты страховых возмещений по всем действующим на данный момент договорам. Поэтому рассматриваемая модель ориентирована скорее не на замкнутую солидарную раскладку ущерба, а на ликвидность компании на данный конкретный момент. Применение этой конкретной модели корректно в условиях достаточно стабильного функционирования страховой компании. Надо отметить, что недопустимо осуществление выплат по ранее заключенным договорам за счет поступления премий по вновь заключенным, так как этот процесс фактически соответствует финансовой пирамиде. Поэтому применение неравенства Крамера–Лундберга имеет смысл при неухудшающемся финансовом положении компании. При этом следует четко различать разницу между вероятностью выполнения обязательств на момент завершения всех договоров портфеля и на момент предъявления любого требования о выплате из-за разных принципов, положенных в основу этих методов. Первый ориентирован на принцип замкнутого страхового фонда, второй — на вычисление текущей ликвидности компании.