Финансовые риски в страховом бизнесе: модели и методы оценки

А. Ю. Казак, Ю. Э. Слепухина 

Финансовые риски  в страховом бизнесе: модели и  методы оценки 

УДК 368.1 + 336.71 + 519.8 

В статье исследуются  вопросы, связанные с оценкой  и регулированием рисков, возникающих  в деятельности страховых компаний. Проведен анализ моделей определения размера вероятности неразорения страховой организации как условия ее финансовой устойчивости. Предложена модель оценки совокупного размера финансовых рисков страховщика на основе комплексного подхода к их детерминированию и анализу. 

Ключевые слова: финансовая устойчивость страховой  организации, финансовые риски, страховые  риски, модели оценки и минимизации. 

В условиях преодоления  негативных последствий глобального  финансового кризиса, поразившего  мировую экономическую систему, роль страхования как финансового механизма компенсации ущерба от реализации различных рисков, безусловно, трудно переоценить. Именно подверженность риску (riskexposure) служит предпосылкой для создания и деятельности страховых компаний. 

Как известно, главным  условием эффективного функционирования страхового рынка является надежность его участников-страховщиков. Поддержание способности каждого страховщика, действующего на рынке, своевременно и в полном объеме выполнять взятые на себя обязательства, т. е. его финансовой устойчивости, является отправной точкой для фактического проявления и реализации функций страхования. 

При этом современное  состояние финансов страховых организаций  требует поиска новых форм и методов  повышения их конкурентоспособности  и финансовой устойчивости, поэтому сейчас становится очевидной необходимость создания систем более эффективной оценки финансового состояния страховой компании и повышения уровня ее финансовой устойчивости. 

Многообразие  форм проявления риска, частота и  тяжесть последствий его реализации вызывают необходимость углубленного анализа рисков и экономико-математического обоснования финансовой политики страховой компании. Использование экономико-математических методов в первую очередь позволяет получить более обоснованные и достоверные оценки основополагающих характеристик финансовой устойчивости, к которым относятся такие показатели, как вероятность разорения, маржа платежеспособности, собственный капитал, страховые тарифы и др. 

Нахождение вероятности  разорения страховой компании является одной из важнейших задач страховой математики, на основе которой строятся основные актуарные концепции оценки финансовой устойчивости, понимаемой не только как отсутствие банкротства, но и как его недопущение. Знание вероятности разорения позволяет найти оптимальную (т. е. рациональную, справедливую) величину страховой премии. 

Различие актуарных  моделей состоит в том, какие  предположения о распределении  страховых выплат (и их размере) и  интервалов времени между выплатами  положены в основу построения модели. Выплаты могут иметь одинаковые распределения с известной функцией распределения, с произвольной функцией распределения, неодинаковые эрланговские распределения [2]; интервалы между выплатами могут иметь неодинаковые показательные распределения, последовательность выплат также может быть описана с помощью пуассоновского процесса. Некоторые модели позволяют учитывать дополнительные возможности, например выплату дивидендов учредителям (участникам). 

Такое рассмотрение финансовой устойчивости, безусловно недостаточно полное с точки зрения многогранности данной проблемы, однако оно позволяет использовать формальные экономико-математические модели для получения обоснованных оценок, которые должны ложиться в основу принятия решений менеджерами страховых компаний. 

Для практики чрезвычайно  важно дать достоверную качественную оценку финансовой устойчивости страховой  компании. Однако эта проблема довольно сложная, в первую очередь из-за того, что используемые экономико-математические модели не могут учесть все факторы, влияющие на уровень финансовой устойчивости. Кроме того, их влияние на результирующий показатель часто не может быть выражено аналитическими зависимостями, в связи с чем для получения оценок уровня финансовой устойчивости приходится использовать приближенные методы решения. Вместе с тем применение экономико-математического аппарата все же позволяет значительно повысить обоснованность принятия решений по управлению финансовой устойчивостью в рамках основных ее характеристик — вероятности разорения, величины начального капитала, маржи платежеспособности, оптимизации тарифной и перестраховочной политики.

Математические  модели рисков в страховании 

Методы математического  анализа страховых рисков и финансовой устойчивости страховых компаний основываются на теории индивидуального и коллективного риска, которые могут быть использованы как для краткосрочных, так и для долгосрочных видов страхования, требующих учета влияния временнуго фактора. 

Модель индивидуального  риска базируется на анализе влияния каждого отдельного риска, принятого на страхование, на совокупный объем страховых выплат. С математической точки зрения совокупный объем страховых выплат по каждому риску рассматривается как сумма случайных величин, принимающих либо нулевое значение, либо значение, соответствующее фактическим выплатам. 

Иными словами, рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель), сформированная единовременно; страховые премии собраны  в момент формирования портфеля; срок действия всех договоров страхования одинаков; и в течение этого срока происходят страховые события, приводящие к страховым выплатам (искам). 

Модель индивидуального  риска — это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета  вероятности разорения. Она строится на основе следующих упрощающих предположений: 

1)анализируется  фиксированный относительно короткий  промежуток времени (так чтобы  можно было пренебречь инфляцией  и не учитывать доход от  инвестирования активов), обычно  это один год; 

2)число договоров страхования N фиксировано и неслучайно; 

3)премия полностью  вносится в начале анализируемого  периода; никаких поступлений  в течение этого периода нет; 

4)наблюдается  каждый отдельный договор страхования,  при этом известны статистические  свойства связанных с ним индивидуальных потерь X. 

Достаточность резерва оценивается с помощью  пороговой вероятности того, что  собранных средств хватит для  покрытия совокупных выплат в течение  исследуемого периода. При этом в  зависимости от имеющейся информации эта оценка может делаться как на основе вида функции распределения, так и на основе неравенства Чебышева [3]. 

Достоинством  данного подхода является то, что  в ряде случаев оценить параметры  распределения таких случайных  величин проще для каждого  отдельного страхового риска, особенно в имущественном страховании, где риски часто уникальны. 

Риск по страховому портфелю в целом можно оценить  как сопоставлением случайной величины обязательств с полученной премией  и резервами, так и анализом случайной  величины дисконтного превышения доходов страховой компании (полученными премиями) над расходами (обязательствами). 

Теория коллективного  риска исходит из рассмотрения всех принятых на страхование рисков, определяющих совокупный объем страховых выплат. С математической точки зрения совокупный объем страховых выплат по каждому риску рассматривается как сумма случайных величин, соответствующих фактическим выплатам. 

При этом рассматривают  статические и динамические модели, отличие которых состоит в  том, что в динамических моделях учтена зависимость от времени (динамика риска) по сборам и выплатам страховой компании. 

Обычно статическую  модель финансового состояния страховой  компании записывают в форме равенства [1]: 

(1)

Q 1 = u + D — X  

где Q — страховой  фонд на конец рассматриваемого периода; u — начальный капитал страховой компании (в различных источниках именуемый также как начальный резерв страховой компании); D = d · N , где d — страховая премия, выплаченная компании одним страхователем, при условии равенства величины премии по всем договорам страхования, или в более общем случае   

Суммарная величина выплат по договорам страхования  определяется суммой 

(2)

  

Обычно предполагается, что в модели индивидуального  риска случайные величины X 1 ..., X N независимы (т. е. исключаются события, когда одновременно по нескольким договорам наступают страховые случаи), неотрицательны и ограничены, и, кроме того, все страхователи однородны, т. е. X 1 ..., X N одинаково распределены. Поскольку страховые случаи происходят не по всем договорам, то некоторые из случайных величин X 1 ..., X N , где X i — потери по i -му договору, равны нулю. 

Динамическая  модель финансового состояния страховой  компании записывается в форме равенства, аналогичного (1) [9]: 

(3)

  

где П( t ) — величина премии, полученной к моменту t > 0. 

Или, иначе, 

(4)

  

где W ( t ) — случайная  величина превышения доходов над  расходами, определяется как техническая  прибыль; N ( t ) — случайный процесс  количества страховых случаев, произошедших к моменту времени t ; при неубывающей последовательности случайных величин t 0 = 0 ≤ t 1 ≤..., характеризующей моменты наступления отдельных исков; T n = t n – t n –1 , n ≥ 0, — время между наступлениями исков; общее количество поданных исков к моменту t 0 составит N ( t ) = sup { n : t n ≤ t }. Между случайными величинами N ( t ) и последовательностью { t n } имеется взаимосвязь { N ( t ) = n } = t n ≤ t ≤ t n + 1 }; С — норма рисковой премии, получаемой по всем договорам в каждый момент времени; X i ( t ) — случайный процесс величины ущерба по i -му страховому случаю, произошедшему до момента времени t . При N ( t ) = 0 очевидно, что X ( t ) = 0. 

Случайный процесс 

(5)

  

в экономико-математических исследованиях называют процессом  риска [4]. 

Традиционной  мерой риска и ключевым понятием задачи о разорении в страховании считается вероятность разорения ( ruin ) . 

Для статической  модели финансовой устойчивости страховщика  указанная вероятность с учетом равенства (1) формально может быть определена как 

(6)

  

т. е. как вероятность  того, что совокупные выплаты превысят активы компании. 

Для динамической модели устойчивости страховщика вероятность  разорения может быть представлена следующим выражением: 

(7)

φ ( u ) = P [ᴲ t 0 < ∞ : t 0 = min{ t : u + W ( t ) < 0}]  

т. е. как вероятность  того, что имеющихся средств в какой-либо момент времени бесконечного промежутка не хватит для осуществления страховых выплат, или для конечного интервала [0,T] 

(8)

φ ( u , T ) = P [ᴲ t 0 : 0 ≤ t 0 ≤ T , t 0 = min{ t : u + W ( t ) < 0}]  

где T — некоторый  временной «горизонт». 

Оценка вероятности  разорения страховщика для конечного  периода времени в большей  степени соответствует практике, в то же время для бесконечного интервала получить аналитическую  оценку проще. 

О величинах N ( t ) , определяющих количество требований (исков), предполагается, что: 

(9)

1) N ( t ) = 0;

2) N ( t ) є {0, 1, 2, ...};

3) N ( t ) < N ( t + h ) .  

Таким образом, величина N ( t + h ) – N ( t ) определяет число  исков, поступивших в промежутке времени ( t , t + h ). 

Графически достаточно упрощенный временной процесс предъявления исков страхователей изображен на рис. 1.

  
 

Обычно предполагается, что скачки имеют величину 1 и  поэтому возможность одновременной  подачи нескольких исков исключена. Введем распределение N ( t ) : 

(10)

  

Вероятности P ( t ) могут быть вычислены при дополнительных предположениях относительно последовательности Т n . 

Если случайные  величины Тn независимы и одинаково  распределены с соответствующей  функцией распределения, то последовательность { t n } называется процессом восстановления .