Выборочный метод в социальной статистике

3.1.2. Определение объема  выборки.

Как следствие, при определении  объема выборки так же используются те же формулы, что и при случайной  выборке.

3.1.3. Плюсы и минусы  механического отбора.

Процедура проведения механической выборки менее громоздка, чем  проведение случайной выборки. Хотя применение компьютеров практически  нивелирует это преимущество.

Механическая выборка  может быть как более точной, так  и менее точной по сравнению со случайной выборкой. Это продемонстрирует следующий пример.

Пример: Воспользуемся данными таблицы 1. Из всех респондентов проведем механическую выборку путем отбора каждого четвертого респондента, начиная с первого. В таблице 5 представлены четыре возможные выборки.

Таблица 5

Возможные выборки  при механическом отборе.

№ группы.	Респонденты, попавшие в группу.
1.	A,E,I.
2.	B,F,J.
3.	C,G,K.
4.	D,H,L.

 

Если посчитать стандартное  отклонение для этих четырех выборок  и для всех возможных выборок при случайном отборе, то механическая выборка окажется точнее (510 против 786).

Если же отбирать каждого третьего человека, то число возможных выборок  окажется равным трем. Они представлены в следующей таблице.

Таблица 6

Возможные выборки  при механическом отборе

№ группы.	Респонденты, попавшие в  группу.
1.	A,D,G,J.
2.	B,E,H,K.
3.	C,F,I,L.

 

Здесь механическая выборка оказывается  менее точной, чем случайная (1216 против 642).

Механическая выборка может  обнаружить систему, что может привести к систематическим ошибкам. Возможности допущения систематической ошибки проиллюстрированы следующими примерами.

Пример: Если неправильно выбрать шаг выборки, то можно получить серьезные искажения полученных результатов. Например, если мы имеем список жителей г. Москвы в алфавитном порядке, то маленький шаг выборки приведет к перебору людей с фамилиями, начинающимися на букву «А» если мы начинаем отбор с начала списка. А если принять во внимание, что среди армян часто встречаются фамилии, начинающиеся на букву «А», то налицо смещение выборки (т.е. число армян в выборке будет завышенным).

Отсюда следует, что  шаг выборки нельзя брать произвольно, а надо рассчитывать по указанной выше формуле. В нашем случае это обеспечит пропорциональное попадание в выборку людей с фамилиями, начинающимися на любую букву. Однако даже при правильно рассчитанном шаге выборки нельзя гарантировать невозможность систематической ошибки, т.к. уже в одной процедуре механического отбора заложена система. Это проиллюстрирует следующий пример.

Пример: Например, у нас есть списки всех жителей какого-то города по избирательным участкам. Тогда, делая механическую выборку из каждого списка, мы опять набираем слишком много людей с фамилией на букву «А», т.к. по обыкновению начинаем отбор с начала списка.

Чтобы исправить это  обстоятельство, необходимо четко определить начало отбора на каждом избирательном  участке. Начало отбора, например, может быть рассчитано по формуле: (к+6)/7, где к-номер избирательного участка (в данном примере от 1 до 700).

Таким образом, по мере роста  номера избирательного участка, начало отбора будет сдвигаться «вглубь» списка.

Пример: Допустим, мы имеем город, состоящий из микрорайонов, и у нас есть адреса жителей микрорайонов, причем в списках адреса упорядочены по микрорайонам. Вроде бы ничто не мешает нам сделать механическую выборку.

Однако если предположить, что микрорайоны  неоднородны (состоят из центра с элитными квартирами и окраин), объем выборки не очень большой и микрорайоны невелики, то механический отбор может привести к систематической ошибке.

При таких допущениях шаг выборки может «перескакивать»  из центрального адреса одного микрорайона в центральный адрес другого, что приведет к тому, что в выборку попадут лишь состоятельные люди (возможен и противоположный вариант).

Из этого следует основной вывод  о том, что при отклонении от принципа случайности необходимо четко отслеживать  любую возможность возникновения систематической ошибки.

3.2. Стратифицированная (районированная) выборка.

3.2.1. Практическая реализация.

При проведении стратифицированного  отбора, генеральная совокупность сначала  разбивается на группы (страты) по какому-либо признаку. Далее уже в этих выделенных группах проводится случайная или механическая выборка.

Стратифицированная выборка  может быть пропорциональной объему группы (в этом случае каждая страта имеет одинаковую долю в выборке) или непропорциональной (в этом случае доля страты в выборке зависит от доли этой страты в генеральной совокупности); также она может проводиться пропорционально колебанию признака в группах.

Например, всех представителей генеральной совокупности можно  разделить по полу, и затем провести случайный отбор среди мужчин и женщин.

Если мы отберем 50% мужчин и 50% женщин, то это будет пропорциональный отбор. В данном случае мы исходим  из того, что мужчин и женщин в  генеральной совокупности примерно поровну, а большей точности для  нашего исследования не требуется.

Если же мы отберем  такой же процент мужчин и женщин, как в генеральной совокупности (например, 49% мужчин и 51% женщин), то это  будет непропорциональный отбор.

А если мы знаем, что рассматриваемый  нами признак (например, количество выкуриваемых за день сигарет), среди мужчин колеблется несильно, т.е. среди мужчин достаточно мало совсем не курящих и злостных курильщиков, в то время как у женщин наблюдается обратная ситуация, то, чтобы добиться необходимой точности оценки количества выкуриваемых за день сигарет при тех же затратах на проведение опроса, можно опросить меньше мужчин, и за счет этого увеличить число опрашиваемых женщин. Это делается потому, что в данном случае получить оценку количества выкуриваемых за день сигарет у женщин с необходимой точностью является более трудной задачей (из-за сильного колебания признака), чем для мужчин. Этот пример - иллюстрация отбора пропорционально колебанию признака в группах.

3.2.2. Вычисление ошибки  выборки.

Формулы для  расчета ошибки репрезентативности при пропорциональном стратифицированном отборе даны в таблице 7.

Таблица 7

Формулы ошибки репрезентативности для стратифицированной выборки (пропорциональный отбор). [3, 22]

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный  отбор.
Среднее значение признака.
Доля  признака.

 

Где:

- средняя из внутригрупповых  дисперсий, где  - дисперсия в группе i, а - численность группы i.

- средняя величина доли признака,

- доля признака в группе i,

Ясно, что доверительный  интервал при стратифицированной выборке будет меньше (выборка точней), чем при случайной выборке, т.к. средняя из внутригрупповых дисперсий меньше общей дисперсии.

На «качественном» же уровне можно сказать следующее. Если представить доверительный  интервал как дисперсию средней  или как ошибку оценки этой средней ( ), то при стратифицированном отборе эта ошибка оценки может быть выражена как «взвешенное среднее ошибок, сделанных при оценивании по отдельным слоям», что и будет средней из внутригрупповых дисперсий.

То есть нам достаточно обеспечить несмещенную оценку всех групповых средних, чтобы обеспечить несмещенную оценку общей средней. А точность оценки групповых средних зависит только от дисперсии внутри наших групп и количества опрошенных.

Другая составляющая общей дисперсии (межгрупповая дисперсия) не играет здесь никакой роли, т.к. если мы обеспечим попадание групповых средних в свои доверительные интервалы (которые зависят от внутригрупповых дисперсий), то мы автоматически добиваемся попадания общей средней в свой доверительный интервал.

Иными словами, за счет моделирования  выборки мы «покрываем» межгрупповую дисперсию (исключаем возможность  случайной ошибки в оценке межгрупповой дисперсии). Если же наше конструирование  не будет соответствовать реальности, либо группы в самой генеральной совокупности окажутся размытыми, то величина межгрупповой дисперсии будет минимальной, что сводит на нет преимущества стратифицированной выборки.

Таким образом, получаем, что дисперсия средней и, значит, величина доверительного интервала зависит лишь от внутригрупповых дисперсий.

При пропорциональном отборе вместо общей дисперсии берется  средняя внутригрупповых дисперсий, а при непропорциональном отборе –  сумма взвешенных по объему всей генеральной совокупности внутригрупповых  дисперсий.

Теперь перейдем к  непропорциональной выборке, т.е. выборке  с неодинаковой удельной долей страт. В следующей таблице даны формулы  ошибки репрезентативности для такой  выборки.

Таблица 8

Формулы ошибки репрезентативности для стратифицированной выборки (непропорциональный отбор)

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный отбор.
Среднее значение признака.
Доля признака.

Где:

- объем страты в генеральной  совокупности.

- объем страты в выборке. 

Как видно из формул, при  непропорциональном отборе вместо средней  внутригрупповых дисперсий берется  сумма взвешенных по объему генеральной  совокупности внутригрупповых дисперсий.

Стратифицированная выборка  может проводиться пропорционально  дисперсии признака в группах. Формулы  ошибки репрезентативности для этого  случая представлены в таблице 9.

Таблица 9

Формулы ошибки репрезентативности для стратифицированной выборки (пропорционально колеблемости признака в группах).

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный отбор.
Среднее значение признака.
Доля признака.

 

Эти формулы являются просто преобразованными формулами  ошибки репрезентативности для непропорционального  отбора. Преобразование производится путем подстановки вместо выражения, которое будет представлено немного ниже.

3.2.3. Определение объема выборки.

Формулы для вычисления объема выборки за исключением отбора пропорционально дисперсии —  легко получаются путем элементарных преобразований из формул ошибки репрезентативности.

Таблица 10

Формулы для  определения объема выборки при пропорциональном стратифицированном отборе.

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный отбор.
Среднее значение признака.
Доля признака.

 

Для непропорционального отбора число  опрашиваемых в каждой страте определяется отдельно, исходя из их численности  в генеральной совокупности.

Отбор пропорционально  колеблемости признака в группе вносит и другой критерий для определения  величены страт в выборке – внутригрупповую дисперсию.

Таблица 11

Формулы для  определения объема выборки при  стратифицированном отборе пропорционально  колеблемости признака в группе.