Выборочный метод в социальной статистике

«Выборочный метод  в социальной статистике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Наши знания, суждения и поступки в очень большой мере основаны на выборочных данных. Это утверждение  одинаково справедливо как для повседневной жизни, так и для научных исследований. Впечатление об учреждении, в котором ежедневно производятся тысячи различных операций, складывается часто на основании лишь одного или двух посещений этого учреждения за несколько лет. И в науке и в житейских делах нам доступен для изучения лишь фрагмент той общей картины, которая должна расширить наши знания.

Тому, как правильно получить выборку  и как сделать по ее данным обоснованные выводы, еще лет 30 назад не уделяли  внимания. Эти проблемы не играли бы особой роли, если бы материал, из которого мы производим отбор, был однороден, так что любая выборка дала бы приблизительно одинаковые результаты. Заключение о состоянии нашего здоровья делается по нескольким каплям крови, проанализированным в лаборатории. Такой метод основан на предположении, что циркулирующая кровь всегда хорошо перемешана и каждая ее капля несет одинаковую информацию, – предположении, в правильность которого мы, будучи неспециалистами, свято верим. Однако, когда изучаемый материал далеко не однороден, как это часто и бывает, способ получения выборки приобретает решающее значение, а изучение методов, позволяющих получить достоверные сведения, становится весьма важным.

На практике, в большинстве  случаев, для которых эта теория была разработана, совокупность, о которой мы хотим получить сведения, конечна и имеет четкие границы – жители города, станки на заводе, рыбы в озере. Иногда удобнее, казалось бы, получить нужные сведения, произведя сплошное обследование или перепись этой совокупности. Практические работники, привыкшие к сплошным переписям, сначала недоверчиво относились к выборочному методу и пользовались им неохотно. Хотя такого предубеждения более не существует, имеет смысл перечислить основные преимущества выборочного метода по сравнению со сплошной переписью.

В данной работе рассмотрим основы теории, созданной для обоснования  методов правильного отбора.

 

 

 

 

1. Суть выборочного  метода и его роль в социологии

Одной из задач, которые  стоят перед социологом при проведении исследования, является сбор необходимых эмпирических данных об объекте исследования. Множество элементов, составляющих объект исследования называют генеральной совокупностью  (ГС). Наиболее простым, на первый взгляд, способом сбора данных является сплошное обследование ГС. Однако применение сплошного обследования не всегда представляется возможным. В этом случае применяется выборочное обследование. Суть выборочного метода заключена в том, что обследованию подвергается только часть элементов ГС, которая называется выборочной совокупностью (ВС). Как писал профессор А. Кауфман, «изобретателем выборочного была сама жизнь». Действительно, еще до теоретического обоснования возможностей применения выборочного метода, статистики были вынуждены проводить выборочные обследования. Основными причинами для этого были отсутствие времени и средств.

Выборочный метод позволяет  не только сократить временные и материальные затраты на проведения исследования, но и повысить достоверность результатов исследования. Это утверждение может вызвать недоумение: как можно получить более достоверные данные, обследовав менее половины ГС? Достоверность полученной информации может быть не только не ниже, чем при сплошном обследовании, но и выше вследствие возможности привлечения персонала более высокого класса и применения различных процедур контроля качества получаемой информации.

Кроме того, выборочный метод имеет более широкую область применения. Широта области применения выборочного метода объясняется тем, что небольшой (по сравнению с ГС) объем выборки позволяет использовать более сложные методы обследования, включая использование различных технических средств (например, видео- и аудиоаппаратуры).

Следует различать единицы отбора и единицы наблюдения. Единицами отбора являются единицы или группы единиц ГС отбираемые на каждом этапе формирования ВС. Единицы наблюдения – это отобранные единицы ГС, характеристики которых непосредственно измеряются. Если выборка проходит в несколько этапов (многоступенчатая выборка), то единицы отбора и единицы наблюдения могут не совпадать. Мы будем рассматривать только одноступенчатую выборку, т.е. выборку, проходящую в один этап.

Развитие теории вероятностей позволило теоретически обосновать возможность применения выборочного метода. В основе теоретического обоснования выборочного метода лежит так называемый закон больших чисел. Физический смысл этого закона можно выразить следующим образом:

«при очень большом  числе случайных явлений средний  их результат практически перестает  быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности».

Также это дало возможность  определять ошибку репрезентативности. Репрезентативностью ВС называется ее способность адекватно представлять (репрезентировать) характеристики ГС. Ошибкой репрезентативности, как правило, называют отклонение выборочного среднего значения признака от генерального. Важно учитывать, что при помощи выборочного метода никогда нельзя получить абсолютно точную оценку наблюдаемого признака, всегда существует вероятность ошибки, но, если вероятность ошибки мала, то она скорее всего не произойдет.

Разделяют два типа ошибок. Случайная (статистическая) ошибка – это ошибки, которые возникают вследствие случайной вариации значений, вызванной тем, что наблюдается только часть единиц, а не вся ГС. Случайные ошибки уменьшаются с увеличением объема ВС. Случайную ошибку можно измерить методами математической статистики, если при формировании ВС соблюдался принцип случайности. Принцип случайности заключается в следующем: каждый элемент ГС имеет равную и отличную от нуля вероятность попасть в ВС. Иными словами, термин «случайный» употребляется здесь и далее как синоним слова «равновероятный».  Для соблюдения принципа случайности формирование выборочной совокупности должно проходить по строго определенным правилам, которые составляют метод формирования выборочной совокупности.

На практике принцип случайности  соблюсти очень сложно, а иногда просто невозможно, что приводит к  появлению систематической ошибки. Систематическая ошибка – это неконтролируемые перекосы в распределении выборочных наблюдений. Число опрошенных не влияет на величину систематической ошибки.

Общая типология методов отбора представлена на рис. 1. Рассмотрим их.

Рисунок 1. Типология методов отбора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Случайные  (вероятностные) методы отбора

2.1. Собственно случайная  выборка

Собственно случайная выборка  лежит в основе всех остальных  типов выборки, которые будут  рассмотрены далее.

2.1.1. Определение собственно  случайной выборки.

Выборка называется собственно случайной, если при извлечении выборки объема n все возможные комбинации из n элементов, которые могут быть получены из генеральной совокупности объема N, имеют равную вероятность быть извлеченными.

По определению, при  собственно случайной выборке выполняется принцип случайности.

2.1.2. Способы практической  реализации собственно случайной  выборки.

Отбор производится с помощью жеребьевки, таблицы (либо генератора) случайных  чисел. Главный принцип – случайность, т.е. все единицы генеральной совокупности имеют равную вероятность попасть в выборочную совокупность.

1. Принцип жеребьевки. Каждый элемент генеральной совокупности заносится на бумажку (это могут быть фамилии, адреса, просто номера (в этом случае выпавшие номера ставят в соответствие с людьми в списках) и т.д.), затем бумажки помещаются в барабан, перемешиваются и не глядя вытаскиваются.
2. Принцип таблицы случайных чисел. Начиная с любого места таблицы, берем четыре следующих друг за другом числа. Эти числа и будут номерами людей в списке, которых следует отобрать в выборку (числа, превышающие численность генеральной совокупности, опускаются).
3. Принцип генератора случайных чисел. Это то же самое, что и таблицы случайных чисел, только числа вырабатываются компьютером (для этого существует специальная программа).

Различают повторную и бесповторную выборку. При повторном отборе каждый выбранный элемент возвращается в ГС. При бесповторном отборе выбранный элемент не возвращается в ГС.

Также используются различные методы моделирования случайности.

1. Механическая выборка требует список характеристик респондентов (фамилии, адреса, телефоны и т.д.). Из этого списка через равные промежутки люди отбираются в выборку. Этот промежуток называется шагом выборки.

Начало отбора выбирается случайным образом в пределах шага выборки. Например, если шаг выборки равен 20, то начинать отбор надо с любого числа от 1 до 20.

2. Территориальный отбор используется, когда нет основы выборки или ее составление сопряжено с большими трудностями.

2.1.3. Вычисление ошибки репрезентативности для собственно случайной выборки.

Пусть нам необходимо оценить средний возраст некоторой  группы людей по ограниченному числу  наблюдений n. Оценкой среднего значения непрерывной случайной величины является математическое ожидание:

.

Естественной оценкой математического  ожидания является среднее арифметическое:

.

От оценки необходимо потребовать  следующие свойства:

1. состоятельность – оценка называется состоятельное, если при увеличении числа опытов оценка сходится по вероятности с искомым параметром,
2. несмещенность – оценка называется несмещенной, если выполнялось условие

,

3. эффективность – оценка называется эффективной, если ее дисперсия минимальна по сравнению с другими.

Среднее арифметическое обладает этими свойствами.

Оценка параметра является функцией от случайных величин  , , … , , поэтому сама является случайной величиной. Другими словами, мы можем сделать множество выборок, для каждой из которых значение оценки будет различно. По закону больший чисел распределение оценки является нормальным с математическим ожиданием

и дисперсией

,

где - генеральная дисперсия.

Тогда можно рассчитать вероятность того, что  попадет в интервал . Поскольку нам неизвестна величина , то мы будем говорить о вероятности, с которой интервал  накроет . Эта которая равна площади под графиком функции распределения случайной величины (см. рис. 2):

.

 

Рисунок 2. Распределение выборочной оценки среднего.

Приведем это распределение  к стандартному виду.

Произведем замену переменной:

.

Справа получили функцию Лапласа, которая табулирована (см. Приложение):

.

 

Нам не известно значение , поэтому заменим его на . Но в этом случае нужно использовать не нормальное распределение, а распределение Стьюдента.

,

где

При больших объемах  выборки вид распределения Стьюдента  приближается к виду нормального  распределения, поэтому для больших  выборок также можно использовать функцию Лапласа.

Для повторной выборки

      (1).

Для бесповторной выборки  необходимо внести поправку на конечность ГС

      (2).

Для большой ГС (объем  ВС составляет менее 5% от ГС) поправкой  на конечность совокупности можно пренебречь.

Про коэффициент доверия  следует сказать отдельно. Этот коэффициент исследователь выбирает сам. Чем меньше , тем меньше доверительный интервал, но тем меньше и вероятность того, что оценка не выйдет за пределы доверительного интервала.

Пример 1. Пусть была произведена выборка 1600 человек. Средний возраст по выборке – 30 лет, среднеквадратическое отклонение – 10 лет. Необходимо найти доверительный интервал.

Прежде всего, необходимо задать надежность оценки. Возьмем 95% надежность. Поскольку выборка большая, воспользуемся таблицей значений функции Лапласа и найдем коэффициент доверия - 1,96.

Тогда

.

С вероятностью 95% истинное средний возраст по ГС находится в интервале от 29,51 лет до 30,49 лет.

Для биномиального распределения

,

где – доля признака, .

Тогда для повторной  выборки из (1)

        (3),

для бесповторной выборки из (2)

      (4).

Пример 2. Из 200 опрошенных 55% - женщины. Действуем аналогично примеру 1. Выборку также можно считать большой. Тогда =1,96 для 95% надежности.

.

С вероятностью 95% доля женщин в ГС находится в интервале от 48% до 62%.

Таблица 1

 Формулы  ошибки репрезентативности для  собственно случайного отбора.[3, 16]