Ряды динамики

                                                                                     (21) 

     (при  выражении среднего темпа роста в коэффициентах)

         

3. Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда

     Изучение  тренда включает в себя два основных этапа :

1. Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2. Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .

     Проверка  на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям .

1. Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется средняя величина ( ) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда .
2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3. Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп .
4. Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

          Если в ряду динамики общая тенденция к росту или  снижению отсутствует , то количество серий является случайной величиной , распределенной приближенно по нормальному  закону (для n > 10) . Следовательно , если закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале  

    

. 

     Параметр  t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.

     Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :  

                                                .                                  (22) 

     Среднее квадратическое отклонение числа серий  вычисляется по формуле 23 : 

                                               .                             (23) 

     здесь n -- число уровней ряда .

     Выражение для доверительного интервала приобретает  вид  

     

 

     Полученные  границы доверительного интервала  округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .

     Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами .

1. Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2. Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).

          При нечетном сглаживании  полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только 50%.

     Недостаток  методики сглаживания скользящими  средними состоит в условности определения  сглаженных уровней для точек  в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 : 

                            .                              (24) 

     Для последней точки расчет симметричен .

     При сглаживании по пяти точкам имеем  такие уравнения (формулы 25): 

                                         (25) 

     Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен  сглаживанию в двух начальных  точках .

     Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом (формула 26): 

     для 3--членной    .                                 (26) 

     

3. Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение  основной проявляющейся во времени  тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:

 

                                            ,                                     (27) 

    где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;

             -- случайное  и циклическое отклонение от  тенденции. 

     Целью аналитического выравнивания динамического  ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

     Чаще  всего при выравнивании используются следующий зависимости :

     линейная  ;

     параболическая  ;

     экспоненциальная 

     или ).

1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.
2. Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3. Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

          Оценка параметров ( ) осуществляется следующими методами :

1. Методом избранных точек,
2. Методом наименьших расстояний,
3. Методом наименьших квадратов (МНК)

     В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который  обеспечивает наименьшую сумму квадратов  отклонений фактических уровней  от выравненных :

     

.

     Для линейной зависимости ( ) параметр обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ; -- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом , можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

     Построив  уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством  критерия Фишера (F) . Фактический уровень ( ) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением : 

                 ,         (28) 

    где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;

    n             -- число уровней ряда ;

     Остальные необходимые показатели вычисляются  по формулам 29 – 31 :  

                                                                      (29) 

                                              (30) 

                                                  (31) 

      сравнивается с при степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если > , то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.  
 

4. Анализ  сезонных колебаний 

    Уровень сезонности оценивается с помощью :

1. индексов сезонности ;
2. гармонического анализа.

     Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня , вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень  существу , относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .

     Если  тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле 32: 

                                                                                       (32) 

     где -- уровень показателя за месяц (квартал) t ;

            -- общий уровень показателя .

     Как отмечалось выше , для обеспечения  устойчивости показателей можно  взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по формулам 33 :  

                                            (33) 

    где -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;

              Т     -- число лет .

     При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов , исключающих влияние  тенденции . Порядок расчета следующий :

1. для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);
2. рассчитывают отношения ;
3. при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле 34 :

 

                        ,(Т -- число лет).                 (34) 

     Другим  методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов .

     Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде формулы 35 : 

                      (35) 

     при t = 1, 2, 3, ... , Т.

    Здесь   -- фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t;

    f(t)     – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t

           -- параметры колебательного  процесса (гармоники) с номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .

     Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда , состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по формулам 36 –38 :