Регрессионный анализ в статистическом изучении взаимосвязи показателей

     При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость  проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При  этом выясняют насколько вычисленные параметры, характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин. Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия

      для параметра a0: 

      для параметра a1:          

         где  n - объём выборки; 

     - среднее квадратическое отклонение  результативного признака от выравненных значений ŷ ;

          или   

     - среднее квадратическое отклонение  факторного признака x от общей  средней  . [8]

     Вычисленные по вышеприведенным формулам значения сравнивают с критическими t, которые  определяют по таблице Стьюдента  с учетом принятого уровня значимости  α  и числом степеней свободы вариации . В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным 0,05. Параметр признаётся значимым (существенным) при условии, если tрасч> tтабл . В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

     Теперь  я рассчитаю t-критерий Стьюдента  для моей модели регрессии.

      - это средние  квадратические отклонения.

     

      Расчетные значения t-критерия Стьюдента:

     По  таблице распределения Стьюдента  я нахожу критическое значение t-критерия для  ν= 32-2 = 30 . Вероятность α я  принимаю 0,05. tтабл равно 2,042. Так как, оба значения ta0 и ta1 больше tтабл , то оба параметра а0 и а1 признаются значимыми и отклоняется гипотеза о том, что каждый из этих параметров в действительности равен 0 , и лишь в силу случайных обстоятельств оказался равным проверяемой величине.

     Проверка  адекватности регрессионной модели  может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту   корреляционной связи между переменными х и у. Теснота корреляционной связи, как и любой другой, может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением ηэ, когда δ2 (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонения групповых средних результативного признака от общей средней: . 

     Говоря  о корреляционном отношении как  о показателе измерения тесноты  зависимости, следует отличать от эмпирического  корреляционного отношения – теоретическое.

     Теоретическое корреляционное отношение η представляет собой относительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего квадратического отклонения выравненных  значений результативного признака  δ, то есть рассчитанных по уравнению регрессии, со средним квадратическим отношением эмпирических (фактических) значений результативности признака σ:

        ,

     где ;       .

     Тогда . [2]

     Изменение значения η объясняется влиянием факторного признака.

     В основе расчёта корреляционного отношения лежит правило сложения дисперсий, то есть , где    -   отражает вариацию у за счёт всех остальных факторов, кроме х, то есть являются остаточной дисперсией:

      .

     Тогда формула теоретического корреляционного  отношения примет вид:

      ,

     или        .

     Подкоренное выражение корреляционного выражения  представляет собой коэффициент  детерминации (мера определенности, причинности).

     Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака-фактора. Задача

     Теоретическое корреляционное выражение применяется  для измерения тесноты связи  при линейной и криволинейной  зависимостях между результативным и факторным признаком.

     Как видно из вышеприведенных формул корреляционное отношение может  находиться от 0 до 1. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь между признаками теснее.

     Теоретическое корреляционное отношение применительно  к  моему анализу я рассчитаю  двумя способами:

     

      [5]

     Полученное  значение теоретического корреляционного  отношения свидетельствует о возможном наличии среднестатистической связи между рассматриваемыми признаками. Коэффициент детерминации равен 0,62. Отсюда я заключаю, что 62% общей вариации работающих активов изучаемых банков обусловлено вариацией фактора – капитала банков (а 38% общей вариации нельзя объяснить изменением размера капитала).

     Кроме того, при линейной форме уравнения  применяется другой показатель тесноты  связи – линейный коэффициент корреляции:

      ,

     где n – число наблюдений.

     Для практических вычислений при малом  числе наблюдений (n≤20÷30) линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

      .

     Значение  линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических  явлений и процессов, распределение  которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале:

     -1≤  r ≤ 1.

     Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – на прямую. При r = 0 линейная связь отсутствует. Чем  ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем  теснее связь между признаками. И, наконец, при r = ±1 – связь функциональная.

     Используя данные Таблицы 1 (Приложение 1), я рассчитал линейный коэффициент корреляции r. Но чтобы использовать формулу для линейного коэффициента корреляции рассчитаем дисперсию результативного признака σy:

     

     

     Квадрат линейного коэффициента корреляции r² называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ r2 ≤ 1. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

     Факт  совпадений и несовпадений значений теоретического корреляционного отношения η и линейного коэффициента корреляции r используется для оценки формы связи. [4]

     Выше  отмечалось, что посредством теоретического корреляционного отношения измеряется теснота связи любой формы, а  с помощью линейного коэффициента корреляции – только прямолинейной. Следовательно, значения η и r совпадают только при наличии прямолинейной связи. Несовпадение этих величин свидетельствует, что связь между изучаемыми признаками не прямолинейная, а криволинейная. Установлено, что если разность квадратов η и r не превышает 0,1 , то гипотезу о прямолинейной форме связи можно считать подтвержденной. В моем случае наблюдается примерное совпадение линейного коэффициента детерминации и теоретического корреляционного отношения, что дает мне основание считать связь между капиталом банков и их работающими активами прямолинейной.

     При линейной однофакторной связи t-критерий можно рассчитать по формуле:

      ,

     где (n - 2) – число степеней свободы  при заданном уровне значимости α  и объеме выборки n.

     Так, для коэффициента корреляции между капиталом и работающими активами получается:

     

     Если  сравнить полученное tрасч с критическим  значением из таблицы Стьюдента, где ν=30, а α=0,01 (tтабл=2,750), то полученное значение t-критерия будет больше табличного, что свидетельствует о значимости коэффициента корреляции и существенной связи между капиталом и работающими активами.

     Таким образом, построенная регрессионная  модель ŷ=245,75+1,42x  в целом адекватна, и выводы, полученные по результатам малой выборки можно с достаточной вероятностью распространить на всю гипотетическую генеральную совокупность. 

     Экономическая интерпретация параметров регрессии 

     После проверки адекватности, установления точности и надежности построенной  модели (уравнения регрессии), ее необходимо проанализировать. Прежде всего, нужно проверить, согласуются ли знаки параметров с теоретическими представлениями и соображениями о направлении влияния признака-фактора на результативный признак (показатель).

     В рассмотренном уравнении ŷ=245,75+1,42х, характеризующем зависимость размера работающих активов (у) от капиталов банков (х), параметр а₁>0. Следовательно, с возрастанием размера капитала банка размер работающих активов увеличивается.

     Из  уравнения следует, что возрастание  капитала банка на 1 млн рублей приводит к увеличению работающих активов в среднем на 1,4 млн рублей (величину параметра а₁). 

     Для удобства интерпретации параметра  a₁ используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле, %:

      .

     В представленном анализе деятельности банков эта величина равна:

     

     Это означает, что с увеличением размера  капитала на 1% следует ожидать повышения размера работающих активов банков в среднем на 0,78%.

     Этот  вывод справедлив только для данной совокупности банков при конкретных условиях их деятельности.

     Если  же эти банки и условия считать  типичными, то коэффициент регрессии  может быть применен для расчета  размера работающих активов по их капиталу и для других банков.

     Имеет смысл вычислить остатки ε_i = y – ŷ, характеризующие отклонение i-х наблюдений от значений, которые следует ожидать в среднем.

     Анализируя  остатки, можно сделать ряд выводов  о деятельности банков. Значения остатков (Таблица 1, графа 8, Приложение 1) имеют как положительные, так и отрицательные отклонения от ожидаемого. Таким образом, выявляются банки, которые вкладывают больше денежных средств в оборот (положительные значения), и банки, предпочитающие пускать в оборот небольшую часть своих денежных средств (отрицательные значения остатков).

     В итоге положительные отклонения размеров работающих  активов уравновешиваются отрицательными значениями, то есть получается ∑ε_i=0.

     Таким образом, в данной работе я установил  корреляционную зависимость  показателей 32 российских банков, провел регрессионный анализ и нашёл регрессионную модель данной взаимосвязи показателей.

     Полученное  уравнение ŷ=245,75+1,42х позволяет проиллюстрировать зависимость размера работающих активов банков от размера их капитала.

     А также я проверил мою модель на адекватность по критерию Стьюдента, результат  оказался положительным (модель адекватна, т.е. ее можно применять), а затем дал экономическую оценку этой модели.

     И так, с помощью корреляционно-регрессионного анализа, я исследовал показатели банков.

 

3.Применение  регрессионного анализа  для изучения объекта  исследования 

     На  основе ранжированных данных о производительности труда и стаже работы двадцати рабочих бригады ЗАО «Роспан Интернешнл» (Таблица 2, Приложение 3) необходимо:

     1.Установить результативный и факторный признаки.

     2.Определить наличие и форму корреляционной связи между производительностью труда рабочих бригады и стажем работы.

     3.Построить на графике поле корреляции и эмпирическую линию корреляционной связи.