Применение индексов средних уровней в изучении производительности труда на предприятии

 

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 5.

Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Структура распределения признака по себестоимости на единицу продукции.

					Таблица №4
№  п/п группы	Группа распределения признака производительность труда, млн. руб./чел.	Середина интервала млн. руб./чел..	Число предприятий в группе		Накопленные частоты	Накопленные частость группы, %
			в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6	7
1	1,2-1,28	1,24	3	10	3	10
2	1,28-1,36	1,32	6	20	9	30
3	1,36-1,44	1,4	11	40	20	70
4	1,44-1,52	1,48	7	20	27	90
5	1,52-1,60	1,56	3	10	30	100
Итого		7,00	30	100

 

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности себестоимости показывает, что распределение  производительности труда не является равномерным: преобладают предприятия от 1,36 млн. руб./чел.. до 1,44 млн. руб./чел.. (это 11 предприятий, доля которых составляет 40%); 40% предприятий имеют производительность труда менее 1,36 млн. руб./чел.., а 60% – менее 1,44 млн. руб./чел..

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности1. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом                             

       

 

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3)                     

где   хМo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

fMo – частота модального интервала,

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.5 модальным интервалом построенного ряда является интервал 1,36-1,44., так как его частота максимальна (f3 = 11).

Расчет моды по формуле (3):

 млн. руб./чел.

 

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная себестоимость продукции  характеризуется средней величиной 1,4 млн. руб./чел..

 

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 6).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом.

 

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,  (4)

                                    

где    хМе– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

fМе – частота медианного интервала,

SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 6 (графа 6). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал    1,36-1,44, так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы по формуле (4):

 млн. руб./чел.

 

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеет в среднем производительность труда не более 1,389 млн. руб./чел., а другая половина – не менее 1,389млн. руб./чел.

Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, выразим варианты одним (дискретным) числом, которое найдем как среднюю арифметическую простую из верхнего и нижнего значений интервала (центр интервала – x).

; (5)

где - сумма производительности труда на число предприятий;

- общее число предприятий.

 

=

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
							Таблица № 5.
№п/п	Число предприятий в группе   fi	Группа распределения признака производительность труда, млн. руб./чел.	Середина интервала млн. руб./чел.
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	1,2-1,28	1,24	3,72	-0,16	0,03	0,08
2	6	1,28-1,36	1,32	7,92	-0,08	0,01	0,04
3	11	1,36-1,44	1,4	15,40	0,00	0,00	0,00
4	7	1,44-1,52	1,48	10,36	0,08	0,01	0,04
5	3	1,52-1,60	1,56	4,68	0,16	0,03	0,08
Итого	30		7,00	42,08	0,00	0,06	0,24

 

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонения вариантов от их средней величины. Так как у нас имеются сгруппированные данные, то расчеты будем производить по следующей формуле:

(6)

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности, оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии.

млн.руб./чел.. (7)

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

  (8)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя производительность труда составляет 1,4 млн. руб./чел., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 0,089 млн. руб./чел. (или 6,36%), наиболее характерные предприятия находятся в пределах от 1,311 млн. руб./чел. до 1,489 млн. руб./чел. (диапазон ).

Значение Vσ = 6,36% не превышает 33%, следовательно, вариация себестоимости продукции в исследуемой совокупности незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =1,4 млн. руб./чел.., Мо=1,4 млн. руб./чел., Ме=1,389 млн. руб./чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение себестоимости продукции (1,4 млн. руб./чел..) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

,          (9)                  

Значение средней производительности, рассчитанной в пункте 3, не отличается от средней производительности, рассчитанного в данном пункте.

 

Задание 2

Связь между признаками - производительность труда и объем производства.

 

Решение

 

а) Для построения статистического ряда распределения предприятий по объему производства, образовав, пять групп с равными интервалами:

Величину равного интервала найдем по формуле:

,

Таблица №6

Рабочая таблица группировки предприятий по объему производства.

№ п/п	группа распределения	N предприятия	Производительность труда, млн. руб./чел.	Объем производства, млн. руб.
1	2	3	4	5
1	35-44,4	1	1,2	35
		2	1,2	38,6
		30	1,25	41,3
		14	1,3	43,5
		8	1,4	44,1
	Итого	5	6,35	202,5
2	44,4-53,8	4	1,35	46,4
		11	1,35	46,4
		22	1,35	48,7
		6	1,35	51,8
		24	1,4	53
	Итого	5	6,8	246,3
3	53,8-63,2	23	1,35	54,2
		12	1,4	55,4
		18	1,4	56,6
		26	1,4	57,8
		7	1,4	58,3
		16	1,5	59,6
		29	1,45	60
		27	1,4	60,2
		15	1,45	62,5
		17	1,4	62,6
	Итого	10	14,2	587,20
4	63,2-72,6	25	1,4	63,8
		3	1,4	64,1
		5	1,4	65
		19	1,45	65
		20	1,45	65
		13	1,45	67,5
		10	1,55	69,8
		28	1,5	71,3
	Итого	8	11,6	531,50
5	72,6-82	9	1,55	75,2
		21	1,6	82
	Итого	2	3,2	157,20
Всего		30	42,05	1724,70

 

 

На основе данной таблицы составим сводную аналитическую таблицу:

 

Таблица 7

Аналитическая группировка предприятий по затратам на производство продукции
Группа	Группы предприятий по объему производства, млн. руб.	Число предприятий	Объем производства, млн. руб.		Производительность труда, млн. руб./чел.
			Всего	На 1 предприятие	Всего	На 1 предприятие
1	35-44,4	5	114,9	22,98	6,35	1,27	0,017	6911,151
2	44,4-53,8	5	291,0	58,20	6,80	1,36	615,867	2463,468
3	53,8-63,2	10	640,9	64,09	14,15	1,42	47,151	235,756
4	63,2-72,6	8	450,9	56,36	11,60	1,45	163,596	2290,348
5	72,6-82	2	227,0	113,50	3,15	1,58	1621,404	4864,213
	Всего	30	1724,7	57,49	42,05	1,40	4175,807	16764,936