Практическое применение законов распределения при изучении уровня жизни населения

 

Оглавление 
 

 

Введение 

    Данная  работа рассматривает проблему применения законов распределения при изучении показателей уровня жизни населения, которая носит актуальный характер в современных условиях. Актуальность настоящей работы обусловлена большим интересом к теме в современной науке. А высокая значимость и недостаточная практическая разработанность определяют ее несомненную новизну.

    Достижение  максимально высокого качества жизни  населения является приоритетной целью  социальной рыночной экономики. Одной из важнейших предпосылок, обеспечивающих реализацию этой задачи, является проведение эффективной политики благосостояния населения. Центральное место в политике благосостояния занимает постоянный рост уровня жизни граждан. Статистическое изучение уровня жизни позволяет расширить возможности развития экономики страны.

    Предметом исследования являются показатели уровня жизни населения, которые зависят от законов распределения в экономической статистике. Объектом изучения является анализ условий уровня жизни населения.

    Теоретическое значение изучения проблемы заключается  в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин,  экономики и математической статистики.  
Изучив теоретические аспекты законов распределения, и рассмотрев уровень жизни как предмет статистического изучения, мы сможем практически изучить показатели уровня жизни населения, используя законы распределения.  
Целью исследования является изучение реального состояния уровня жизни населения.

    Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучить законы распределения в математической статистике.
2. Рассмотреть уровень жизни как предмет статистического изучения.
3. Показать на практике, как применяются законы распределения при изучении показателей уровня жизни населения.
4. Сделать сравнительный анализ уровня жизни населения в РФ.

    Работа  имеет традиционную структуру и  включает в себя введение, основную часть, состоящую из 3 глав, заключение и список используемой литературы.

 

    

    1. Понятие о закономерностях статического распределения 

    1.1.Закон распределения и его виды

    Случайное событие — событие, которое при наличии совокупности условий F может либо произойти, либо не произойти. Достоверное событие — событие, которое обязательно произойдет при наличии условий F. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих ему случаев (исходов) т к общему числу исключающих друг друга случаев п: Р(А) == т/п. Вероятность достоверного события равна единице, невозможного события — нулю, а случайного события — числу, заключенному между нулем и единицей (0 < Р(А) < 1). Таким образом, для произвольного случайного события справедливо неравенство 0£Р(А)£1. Случайная величина Х — величина, наблюдаемое значение которой зависит от случайных причин и поэтому наперед неизвестно. Случайные величины могут быть дискретными (например, число бракованных деталей в партии и др.) или непрерывными (например, отклонение размера детали от номинала, высота микропрофиля в данной точке и др.). Полный набор всех возможных значений случайной величины Х называется генеральной совокупностью.

    Закон распределения случайной величины Х — всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями x_i случайной величины Х и соответствующими им вероятностями p_i . Его можно задать таблично, аналитически (формулами) или графически. В наиболее обобщенной форме закон распределения описывается с помощью интегральной функции распределения или дифференциальной функцией распределения.

    Интегральная  функция распределения (функция распределения) F(x) — это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше данного значения x: F(x)=P(X).

    Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные (на некоторой шкале) значения X _i. В этом случае ряд значений вероятностей P(X _i)для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения. В самом деле, - такой ряд содержит всю информацию о СВ, это максимум наших знаний о ней. Другое дело, - откуда мы можем получить эту информацию, как найти закон распределения? Попытаемся ответить на этот принципиально важный вопрос, используя уже рассмотренное понятие вероятности. Для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть путь его отыскания. Мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности.

    Продемонстрируем  первый путь отыскания закона распределения.

    Пусть важной для нас случайной величиной  является целое число, образуемое по следующему правилу: мы трижды бросаем симметричную монетку, выпадение герба считаем числом 1 (в противном случае 0) и после трех бросаний определяем сумму S. Ясно, что эта сумма может принимать любое значение в диапазоне 0…3, но всё же - каковы вероятности P(S=0), P(S=1), P(S=2), P(S=3); что можно о них сказать, кроме очевидного вывода - их сумма равна 1?

    Попробуем построить схему интересующих нас  событий. Обозначим через p вероятность  получить 1 в любом бросании, а  через q=(1–p) вероятность получить 0. Сообразим, что всего комбинаций ровно 8 (или 2³), а поскольку монетка симметрична, то вероятность получить любую комбинацию трех независимых событий (000,001,010…111) одна и та же: q³ = q²*p =…= p³ = 0.125. Но если p принадлежит q , то варианты все тех же восьми комбинаций будут разными (см. приложение 1).

             Запишем то, что уже знаем - сумма вероятностей последней строки должна быть равна единице:

    p³ +3*q*p² + 3*q²*p + q³ = (p + q)³ = 1.                                                        (1)

    Перед нами обычный бином Ньютона 3-й степени, но оказывается - его слагаемые четко определяют вероятности значений случайной величины S !

    Мы  записали закон распределения СВ, образуемой суммированием результатов n последовательных наблюдений, в каждом из которых может появиться либо 1 (с вероятностью p), либо 0 (с вероятностью 1– p).

    В общем случае биномиальный закон  распределения позволяет найти  вероятность события S = k в виде

    P(S=k)= *p^k*(1– p)^n-k,     (2)   - т.н. биномиальные коэффициенты, отыскиваемые из известного “треугольника Паскаля” или по правилам комбинаторики - как число возможных сочетаний из n элементов по k штук в каждом:

     = n*(n –1)* ...*(n – k + 1)/ (1*2* .... * k).                                           (3)

    Многие  дискретные СВ позволяют построить  схему событий для вычисления вероятности каждого из допустимых для данной случайной величины значений.

    Конечно же, для каждого из таких, часто  называемых "классическими", распределений  уже давно эта работа проделана – широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.

    Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.

    Сегодня положение изменилось – нет нужды  хранить данные расчетов по формулам, время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам.

    Приведем  примеры нескольких распределений для дискретных СВ с описанием схемы событий и формулами вычисления вероятностей. Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и обозначая (1– p) = q.

    · Биномиальное распределение

    Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность   P(X= k) = *p^k*q^n-k .                                                             (4)

    · Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)

    Пусть Y – число посетителей, достаточное  для того, чтобы k из них оказались  покупателями. Тогда вероятность  того, что n–й посетитель окажется k–м покупателем составит P(Y=n) = *p^k *q^n–k.                                           (5)

    · Геометрическое распределение

    Если Y – число посетителей, достаточное  для того, чтобы один из них оказался

    покупателем, то P(Y=1) = p *q^n–1.                                                                (6)

    · Распределение Пуассона

             Закон распределения вероятностей дискретной СВ несет в себе всю информацию о ней и большего желать не приходится.

    Не  будет лишним помнить, что этот закон (или просто – распределение случайной  величины) можно задать тремя способами:

    · в виде формулы: например, для биномиального распределения при n=3 и p=0.5 вероятность значения суммы S=2 составляет 0.375;

    · в виде таблицы значений величины и соответствующих им вероятностей:

    · в виде диаграммы или, как ее иногда называют, гистограммы распределения.

    Если нам известен закон распределения, то, просуммировав произведения значений суммы S на соответствующие каждому значению вероятности, мы найдем математическое ожидание этой суммы как дискретной случайной величины –

    M(S) = S S _i *P(S _i).                                                                                     (7)

    Математического ожидания – является “центром” распределения. Правда, речь идет вовсе не о делении оси допустимых значений самой СВ на две равные части. Поистине – первый показатель закона распределения “самый главный” или, на языке статистики, – центральный.

    Итак, для СВ с числовым описанием математическое ожидание имеет достаточно простой  смысл и легко вычисляется  по законам распределения. Заметим  также, что математическое ожидание – просто числовая величина (в общем случае не дискретная, а непрерывная) и никак нельзя считать ее случайной.  

    Другое  дело, что эта величина зависит  от внутренних параметров распределения (например, – значения вероятности  р числа испытаний n биномиальном законе).

    Так для приведенных выше примеров дискретных распределений математическое ожидание составляет (см. приложение 1).

    Приходится  признать, что математическое ожидание является удобным, легко вычислимым, но весьма неполным способом описания закона распределения. И поэтому требуется еще как–то использовать полную информацию о случайной величине, свернуть эту информацию каким–то иным способом.

    D(X) = S (X _i – M(X))² * P(X _i);     (8) принято называть дисперсией распределения дискретной СВ.

    Ясно, что для величин, имеющих единицу измерения, размерность математического ожидания и дисперсии оказываются разными. Поэтому намного удобнее оценивать отклонения СВ от центра распределения не дисперсией, а квадратным корнем из нее – так называемым среднеквадратичным отклонением s, т.е. полагать