Параметры а₀ и а₁ искомого уравнения прямой исчислим по формулам (1.3) и (1.4). 

Таблица 7

Выравнивание  по прямой  ряда динамики урожайности зерновых культур 

 

Из табл.7 находим 

∑ y_t = 153,4                 ∑ y*t = 6,8                ∑ t² = 330, 

откуда а₀ = 153.4 / 10 = 15.34;   а₁ = 6,8 / 330 = 0,021. 

      Уравнение прямой, представляющее собой трендовую  модель искомой функции, будет иметь вид: y_t = 15,34 + 0,021 t .

      Подставляя  в данное уравнение последовательно  значения t, равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни y_t .

      Если  расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ y_t . В нашем примере ∑ y = ∑ y_t = 153,4. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.

      Полученное  уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные  годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1986 по 1995 гг. урожайность  зерновых культур в среднем возросла на а₁ =0,021 ц/га в год.

      Фактические и расчетные значения урожайности  зерновых культур представим в виде графика (рис.3) 
 

 

Рис.3. Уровни урожайности зерновых культур (сглаженные) 

      Соединив  точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении урожайности.

      Тенденция роста урожайности зерновых культур  в изучаемом периоде отчетливо  проявляется в результате построения выравненной прямой y_t = 15,34 + 0,021 t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

III. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

Задание 1 

     Динамика  отпуска электроэнергии за пределы  РФ за 1990-2000 гг. характеризуется следующими данными: 

                                                             Таблица 8

 

   Выявить основную тенденцию отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг.:

1. методом трехлетней скользящей средней;
2. методом аналитического выравнивания;
3. изобразить графически фактические и выравненные значения.

 
 
 
 
 
 
 

Алгоритм  решения задачи: 

1. Метод трехлетней скользящей средней

 

   Исчисляем средний уровень из 11 первых по счету  уровней ряда. Для этого используем формулу средней арифметической: 

Y _ср = y₁ + y₂ +… + y_n / n

 

где y₁ ;y₂;  y_n – индивидуальные значения варьирующего признака;

       n – число единиц совокупности. 

В нашем  примере трехлетняя скользящая средняя, поэтому n = 3. 

Y_{2 ср} = y₁ + y₂ + y₃ / 3 = 43,4 + 47,2 + 44,0 / 3 = 44,87 

Y_{3 ср} = y₂ + y₃ + y₄ / 3 = 47,2 +44,0 + 43,4 / 3 = 44,87 

Y_{4 ср} = y₃ + y₄ + y₅ / 3 = 44,0 + 43,4 + 41,7 / 3 = 43,03 

Y_{5 ср} = y₄ + y₅ + y₆ / 3 =43,4 + 41,7 + 38,0 / 3 = 41,03 

Y_{6 ср} = y₅ + y₆ + y₇ / 3 = 41,7 + 38,0 + 31,8 / 3 = 37,17 

Y_{7 ср} = y₆ + y₇ + y₈ / 3 = 38,0 + 31,8 + 26,8 / 3 = 32,2 

Y_{8 ср} = y₇ + y₈ + y₉ / 3 = 31,8 + 26,8 + 26,4 / 3 = 28,33 

Y_{9 ср} = y₈ + y₉ + y₁₀ / 3 = 26,8 + 26,4 + 22,5 / 3 = 25,23 

Y_{10 ср} = y₉ + y₁₀ + y₁₁ / 3 = 26,4 + 22,5 + 22,9 / 3 = 23,93 

     В результате обработки ряда мы видим, что появилась тенденция к  существенному уменьшению потребления  электроэнергии (в 1990 году расход составил 43,4 млрд.квт.час, в 2000 году – 22,9). Графически эта тенденция выглядит так: 

 

 

      Рис. 4. Сглаженные уровни по трехлетенй скользящей средней

 

2. Метод аналитического выравнивания

 

   Выравнивание  по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или  близко к ней).

      Рассмотрим  «технику» выравнивания ряда динамики по прямой:

y_t = а₀ + а₁t. Параметры а_{0 ,} а₁ согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования  

а₀n + а₁∑t = ∑y;                                                                        

     

а₀∑t + а₁∑t² = ∑yt , 

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

      t – время (порядковый номер периода или момента времени).

      Расчет  параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

      При нечетном числе уровней (в нашем примере = 11) значения устанавливаются так:

                                   Таблица 9 

 

∑t = 0, так что система нормальных уравнений принимает вид: 

 ∑y = а₀ n                                                                                               

     

∑yt = а₁ ∑t²  

В результате расчетов в табличном редакторе  Excel получили следующие данные:

                                                                                                           Таблица 10