K (t)     – нестрого периодические циклические колебания

V (t)    –   строго периодические колебания (сезонные).

E (t) – случайная компонента (несистематические колебания, которые возникают от случая.

     Однако  часто приходится встречаться с  такими рядами динамики, в которых  уровни ряда претерпевают самые различные  изменения (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития неясна.

     На  развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

     Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а  об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

     Основной  тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменения уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

     Задача  состоит в том, чтобы выявить  общую тенденцию в изменении  уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С  этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

     Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т. д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

     Рассмотрим  применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске  продукции на предприятии в 1996 г. (табл. 4).

Объем производства продукции  предприятия (по месяцам) в сопоставимых целях, млрд.руб.

                                                           Таблица 4 

 

     Различные направления изменений уровней  ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить  среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл. 5) , т. е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

     Объем производства продукции  предприятия (по кварталам) в сопоставимых ценах, млрд.руб.

                                                                                                                               Таблица 5 

 

     После укрупнения интервалов основная тенденция  роста производства стала очевидной:

5,23< 5,57< 5,87< 6,03 млрд руб.

     Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и т. д. ), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т. д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

      Расчет  скользящей средней по данным об урожайности  зерновых культур приведен в табл.6 

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Таблица 6

 

      Сглаженный  ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из–за  случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 2),  выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 2  Динамика уровня урожайности 

      Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с  фактическим, а следовательно, потеря информации.

      Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней)  дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную  от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

      Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения  уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

      Основным  содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени: 

y_t = f (t), 

где y_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

      Определение теоретических (расчетных) уровней  y_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппромиксирует) основную тенденцию ряда динамики.

      Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом  анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом  изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

      Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются: 

      линейная  функция – прямая y_t = а₀ + а₁t, 

где а_0, а_{1 –} параметры уравнения;

     t – время; 

      показательная функция y_t = а₀ а₁^t,; 

      степенная функция – кривая второго порядка (парабола)

y_t = а₀ + а₁t + а₂t². 

      В тех случаях, когда требуется  особо точное изучение тенденции  развития (например, модели тренда для  прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные  критерии математической статистики.

      Расчет  параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями: 

∑ (y_t – y_i)² → min 

где y_t – выравненные (расчетные) уровни;

      y_i – фактические уровни.

      Параметры уравнения а_i , удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями y_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

      Выравнивание  по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

      Выравнивание  по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста  практически постоянны.

      Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: y_t = а₀ + а₁t. Параметры а_{0 ,} а₁ согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (1.1): 

а₀n + а₁∑t = ∑y;                                                                         (1.1)

     

а₀∑t + а₁∑t² = ∑yt , 

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

       t – время (порядковый номер периода или момента времени).

      Расчет  параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

      При нечетном числе уровней (например, 6) значения t – условного обозначения времени будет таким (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях): 

1990 г.         1991 г.           1992 г.       1993 г.                1994 г.                 1995 г.

-5                    -3                    -1              +1                       +3                         +5         

      При нечетном числе уровней (например,7) значения устанавливаются по-другому: 

1989 г.         1990 г.      1991 г.       1992 г.      1993 г.          1994 г.          1995 г.

   -3                 -2              -1                  0               +1                +2                 +3 

В обоих  случаях ∑t = 0, так что система нормальных уравнений (1.1) принимает вид: 

 ∑y = а₀ n                                                                                                (1.2)

     

∑yt = а₁ ∑t²  

      Из  первого уравнения а₀=∑y / n                                                 (1.3) 

      Из  второго уравнения а₁= ∑yt / ∑t²                                            (1.4) 

      Проиллюстрируем на примере урожайности зерновых культур (см. табл.6, расчетные значения – табл.7) выравнивание ряда динамики по прямой.

      Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение  прямой:  y_t = а₀ + а₁t . В нашем примере n = 10 – четное число.