Но  если требуется охарактеризовать последовательно  изменения изучаемого явления из периода в период, то вычисляются  цепные индексы. Например, при изучении объёма розничного товарооборота по кварталам года сопоставляют товарооборот II квартала c I, III — cо II и    IV — с III кварталом.

   В зависимости от задачи исследования и характера исходной информации базисные и цепные индексы исчисляются  как индивидуальные, так и общие.

   Способы расчёта индивидуальных базисных и цепных индексов аналогичны расчёту относительных величин динамики. Общие индексы в зависимости от их вида вычисляются с переменными и постоянными весами — соизмерителями.

   Используя индексный ряд за несколько периодов, можно получить динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т.е. в ценах какого - то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами. Для них действует правило: произведение цепных индексов даёт индекс базисный.

         2.2.2. Средневзвешенные  индексы. 

   Помимо агрегатных индексов в статистике применяются средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.

      Средний индекс - это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Он должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая. Среднеарифметический индекс  тождествен агрегатному, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые знаменателя агрегатного по формуле средней арифметической, будет равна агрегатному индексу.

Среднеарифметический  индекс физического  объема продукции вычисляется по формуле.

I_p= ∑i_qp_oq_o/ ∑p_oq_o = ∑q₁p_o/ ∑q_op_o

    Среднеарифметический индекс трудоемкости производства продукции определяется следующим образом:

I_t = ∑i_tT_o/ ∑T_o=∑i_tt_oq_o/∑t_oq_o

Поскольку i_t · t_o= t_1, то формула этого индекса может быть преобразована в агрегатный индекс трудоемкости продукции. Весами являются общие затраты времени на производство продукции или численность работников в базисном периоде.

      В статистике широко известен  и среднеарифметический индекс производительности труда. Он носит название индекса Струмилина и определяется следующим образом:

I_v = ∑(∑q_i/ ∑T₁ : ∑q_o/∑T_o)T₁/T₁= ∑iT₁/∑T₁

 Индекс показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) производительность труда или сколько процентов составил рост (снижение) производительности труда в среднем по всем единицам исследуемой совокупности. Среднеарифметичексие индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных показателей.

      Среднегармонический индекс тождествен  агрегатному, если индивидуальные индексы будут взвешены с помощью слагаемых числителя агрегатного индекса. Например, индекс себестоимости можно исчислить так:

I _z = ∑z₁ q₁/ ∑z₁ q_1/i_p = ∑p₁q₁/∑p₀q₁

     Таким образом, весами при определении среднегармонического индекса себестоимости являются издержки производства текущего периода, а при расчете индекса цен стоимость продукции этого периода.

             

3. Базисные и цепные индексы.

    Цепные  индексы:

    Сумма произведений индивидуальных цепных индексов дает базисный индекс за соответствующий период. 

    Базисные  индексы:

    Частное от деления последующего базисного  индекса на предыдущий индекс дает нам цепной индекс за соответствующий  период.

    Преимущество  сводных индексов с постоянными  весами состоит в том, что их можно  сравнивать между собой, а также получать цепные индексы из базисных и наоборот.

    Для индексов с переменными весами такое  правило не сохраняется.

    С постоянными весами рассчитываются индексы физического объема продукции, а с переменными весами – индексы  цен, себестоимости, производительности труда.

    Индекс  дефлятора используется для перевода значений стоимостных показателей за отчетный период в стоимостные измерители базисного периода.

    Для построения индекса дефлятора можно  использовать индексы с переменными  весами.

Индексы постоянного состава, переменного состава и структурных сдвигов

    В тех случаях, когда мы анализируем  изменение во времени сравниваемой продукции, мы можем поставить вопрос о том, как в различных условиях (на различных участках) меняются составляющие индекса (цена, физический объем, структура производства или реализации отдельных видов продукции). В связи с этим строятся индексы постоянного состава, переменного состава, структурных сдвигов.

    Индекс  постоянного (фиксированного) состава по своей форме тождественен агрегатному индексу.

      
 
 
 

    Цена  по обоим предприятиям изменилась на 27,2 %.

    Этот  индекс не учитывает изменение объема продажи продукции на различных  рынках в текущем и базисном периодах.

    Индекс  переменного состава используется для характеристики изменения средней цены в текущем и базисном периодах.

Территориальные индексы

В статистике существует необходимость сопоставления  уровней экономических явлений  в пространстве. Для расчета значений используются территориальные индексы. Для их исчисления соответствующие показатели по всем видам продукции умножаются на количество продукции, произведенной во всей области.

2.4. Использование общих индексов в экономическом анализе

    Покажем расчет общих индексов на двух примерах. В первом рассматривается группа из двух предприятий, производящих различную продукцию. По каждому предприятию имеются данные за два смежных года (базисный и отчетный) о численности работающих и среднем уровне выработки на одного человека: 

 

Определяем  общий индекс объема произведенной  продукции:

                                                 

              I_q=         =              = 1.009305.                                                                                                                  
 

    В связи с изменением численности  работающих объем продукции изменился в I_T раз:

    

                  I_T =                  =                                          =                      = 0.999233 
 
 

 В  связи с изменением уровней  производительности труда на  предприятиях объем продукции  изменился еще в  I_w  раз:

                            

                         I_w =                  =                   = 1,01008

   

Далее используем полученные индексы для анализа общего .прироста продукции ∆Q:

1) ∆Q(T) = Q₀ -( I_T- 1) = 46660,8   •   (0,999233 -  1) = — 35,8 тыс. руб.;

2) ∆Q(W) = Q₀ • I_T -( I_w- 1) = 46660,8 • 0,999233 • (1,01008-,- 1) = 470 тыс. руб. 

       Заметим, что каждый из рассмотренных  индексов можно получить и  как среднюю  величину из соответствующих

индивидуальных. Так, по предприятию № 1 индивидуальный индекс объема произведенной продукции составляет 21895 : 21450 = = 1,020746, индекс численности работающих — 1510 : 1500 = = 1,006667, индекс уровня выработки — 14,5 : 14,3 = 1,013986. По предприятию № 2 индекс объема продукции равен 25 200 : 25 210,8 = 0,999572, индекс численности работающих — 420 : 423,0 = 0,992908, индекс уровня выработки — 60,0 : 59,6 = =1,006711.

Теперь  повторим расчет индексов как средних  величин:

                             I_Q  =       =   = 1,009305                                                   

                                       

                           I_T = = = 0.999233

                         

I_w = = = 1,01008

                   

    Таким образом, если последовательность индексов (а стало быть, и факторов изменения итогового показателя) упорядочена, то прирост итога за счет фактора / в процессе анализа определяется по формуле

    ∆(Q) = Q₀∙ I₁∙ I₂ ∙ … ∙I_i-1 ∙ (I_i – 1)

    Из  формулы видно, что прирост за счет конкретного фактора может  быть либо положительным, если соответствующий  индекс больше 1, либо отрицательным, если этот индекс меньше 1. Эта особенность индексного анализа усложняет интерпретацию результатов и требует привлечения специальных процедур согласования знаков общего и факторных приростов.

    Во  втором примере (табл. 6.1) рассматривается  движение валового дохода коммерческого банка в зависимости от изменения среднегодовой задолженности по кредитам (количественный фактор) и процентной ставки за кредит (качественный фактор).

Валовой доход от реализации кредита составлял:

в базисном году

Д₀ = млн руб.;