Большой вклад в разработку данной проблемы внёс В.А.Крутецкий.

(        ) Собранный им экспериментальный  материал позволяет говорить о компонентах, занимающих существенное место в структуре такого интегрального качества ума, как математическая одарённость.

Общая схема структуры  математических способностей в школьном возрасте

1. Получение математической информации

А) Способность  к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

А) Способность  к логическому мышлению в сфере  количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

Б) Способность  к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность  к свёртыванию процесса математического  рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности  и рациональности решений.

Е) Способность  к быстрой и свободной перестройке  направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении.

    3. Хранение математической информации.

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

4. Общий синтетический компонент.

А) Математическая направленность ума. 

Не  входят в структуру математической одарённости те компоненты, наличие  которых в этой структуре не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они  являются нейтральными по отношению  к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее степень развития) определяют типы математического склада ума.

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко.
2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные производить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трёхзначных чисел), но не умеющие решать сколько-нибудь сложные задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные «счётчики» не давшие математике ничего, а выдающийся математик А.Пуанкаре писал о себе, что без ошибки не может сделать даже сложение.
3. Память на цифры, формулы, числа. Как указывал академик А.Н.Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.
4. Способность к пространственным представлениям.
5. Способность наглядно представлять абстрактные математические отношения и зависимости

Следует подчеркнуть, что схема структуры  математических способностей имеет в виду математические способности школьника, Нельзя сказать в какой мере её можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере её можно отнести к вполне сложившимся одарённым математикам. 
 
 

1.2.2. Типы математических  складов ума.

Хорошо  известно, что в любой области  науки одарённость как качественное сочетание способностей всегда многообразна и в каждом отдельном случае своеобразна. Но при качественном многообразии одарённости всегда можно наметить какие-то основные типологические различия в структуре одарённости, выделить определённые типы, значительно отличающиеся один от другого, разными путями приходящие к одинаково высоким достижениям в соответствующей области.

Об аналитическом  и геометрическом типах упоминается  работах А.Пуанкаре, Ж.Адамара, Д.Мордухай-Болтовского (        ), но с этими  терминами у них связывается скорее логический,  интуитивный пути творчества в математике.

       Из отечественных исследователей  вопросами индивидуальных различий  учащихся при решение задач  с точки зрения соотношения  абстрактных и образных компонентов  мышления много занималась Н.А.Менчинская. (        ) Она выделяла учащихся с относительным преобладанием: а) образного мышления над абстрактным; б)абстрактного над образным и в)гармоническим развитием обоих видов мышления.

Нельзя думать, что аналитический тип проявляется только в алгебре, а геометрический – в геометрии. Аналитический склад может проявляться в геометрии, а геометрический – в алгебре. В.А.Крутецкий

(          ) дал развернутую характеристику  каждого типа.

Аналитический тип.

Мышление  представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлечёнными схемами. У них нет потребности в наглядных опорах, в использование предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления  и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Геометрический  тип

Мышление  представителей этого типа характеризуется  очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно говорить о преобладании над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактного материала и демонстрируют большую избирательность в этом отношении. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлечёнными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами, представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднительно. 
 

Гармонический тип.

Для этого типа характерно относительное  равновесие хорошо развитых  словесно-логического и наглядно-образного компонентов при ведущей роли первого. Пространственные  представления у представителей этого типа развиты хорошо. Они  избирательны в наглядной интерпретации абстрактных отношений и зависимостей, но наглядные образы и схемы подчинены у них словесно-логическому анализу. Оперируя наглядными образами, эти учащиеся чётко осознают, что содержание обобщения не исчерпывается частными случаями. Успешно осуществляют они и образно-геометрический подход к решению многих задач.

Установленные типы, по-видимому, имеют общее значение. Наличие их подтверждается многими исследованиями. 
 

1.2.3. Возрастные особенности  математических 

способностей.

       В зарубежной психологии до  настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического развития школьника, исходящих из ранних исследований Ж.Пиаже. Пиаже считал, что ребёнок только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению. (         ) Анализируя стадии развития математических рассуждений подростка, Л.Шоанн пришёл к выводу, что в плане наглядно-конкретном школьник мыслит до 12 – 13 лет, а мышление в плане формальной алгебре , связанной с овладением операциями, символами, складывается лишь к 17 годам.

       Исследование отечественных психологов  дают иные результаты. Ещё П.П.Блонский писал об интенсивном развитие у подростка (11 – 14 лет ) обобщающего и абстрагирующего мышления, умения доказывать и разбираться в доказательствах. (      ) Возникает законный вопрос: в какой мере можно говорить о математических способностях по отношению к младшим школьникам? Исследования под руководством И.В.Дубровиной, даёт основание ответить на этот вопрос следующим образом. Конечно, исключая случаи особой одарённости, мы не можем говорить о сколько-либо сформированной структуре собственно математических способностей применительно к этому возрасту. Поэтому понятие «математические способности» условно в применение к младшим школьникам – детям 7 –10-лет, при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идти лишь об элементарных формах таких компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах.

        Опытное обучение, которое осуществлялось  в ряде школ сотрудниками Института психологии (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов) показывает, что при специальной методике обучения младшие школьники приобретают  большую способность к отвлечению и рассуждению, чем принято думать. Однако, хотя возрастные особенностями школьника в большей мере зависят от условий, в которых осуществляется обучение, считать, что они целиком создаются обучением, было бы неверно. Поэтому неправильна крайняя точка зрения на этот вопрос, когда считают, что не существует никакой закономерности естественного психического развития. Более эффективная система обучения может «стать» весь процесс, но до известных пределов, может несколько измениться последовательность развития, но не может придать линии развития совершенно иной характер. Произвольности здесь быть не может. Не может, например, способность к обобщению сложных математических отношений и методов сформироваться раньше, чем способность к обобщению простых математических отношений.

Таким образом, возрастные особенности, о  которых говорится, - это несколько  условное понятие. Поэтому все исследования ориентированные на общую тенденцию, на общее направление развития основных компонентов структуры математических способностей под влиянием обучения. 
 

1.2.4. Половые различия  в характеристике 

математических способностей.

Оказывают ли какое-нибудь влияние на характер развития математических способностей и на уровень достижений в соответствующей области половые различия? Имеют ли место качественно своеобразные особенности математического мышления мальчиков и девочек в школьном возрасте?

       В зарубежной психологии имеются работы, где, сделана попытка выявить, отдельные качественные особенности математического мышления мальчиков и девочек. В.Штерн (          ) , говорит о своём не согласии с той точкой зрения, согласно которой различия в умственной области мужчин и женщин есть результат неодинакового воспитания. По его мнению, причины кроются в разных внутренних задатках. Поэтому женщины менее склоны к абстрактному мышлению и менее способны в этом отношении. Также проводились исследования под руководством Ч.Спирмена и Э.Торндайка, они пришли к выводу, что «в отношении способностей большой разницы нет», но при этом отмечают большую склонность девочек к детализированию, запоминанию подробностей.

       Соответствующие исследования в  отечественной психологии были проведены под руководством И.В.Дубровиной и С.И.Шапиро, они не обнаружили каких-либо качественных специфических особенностей в математическом мышление мальчиков и девочек. Не указали на эти различия и опрошенные ими учителя.

1.3. Тревожность. Анализ  и состояние проблемы.

Впервые выделил и акцентировал состояние  тревоги, беспокойства  З.Фрейд. Он охарактеризовал данное состояние как эмоциональное, включающее в себя переживание ожидания и неопределённости, чувство беспомощности. Данная характеристика указывает на внутренние причины. (            )