Анализ электронных средств обучения

                                            

                                                       

   Прежде всего, еще раз отметим  взаимную связь событий X и  Y — если одно не зависит  от другого, то данная формула обращается в тождество. Если же взаимосвязь событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений вероятностей.  

Понятие случайной величины

 
  Наряду со случайными событиями, как фактами в схеме испытаний, характеризующими её качественно, результаты опытов можно описать количественно. Это и ведёт к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы).  Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.  
   Таким образом, случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины представляет собой случайное событие.

    Рассмотрим два типа случайных  величин – дискретные и непрерывные.

 
Дискретные  случайные величины

 
       Случайные величины будем  обозначать малыми буквами греческого  алфавита: , ... . Рассмотрим случайную величину  , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi  

 

    

       Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x₁, x₂, ..., x_n, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то        

Например : Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло.

Таким образом,

   

   Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли: 

    

Закон распределения вероятностей по формуле  Бернулли часто называют биномиальным, так как P_n(m) представляет собой m-й член разложения бинома .  
   Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

где — некоторая положительная постоянная. В этом случае говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, Заметим, что при k=0 следует положить 0!=1 . 
   Как мы знаем, при больших значениях числа n независимых испытаний вероятность P_n(m) наступления m раз события A удобнее находить не по формуле Бернулли, а по формуле Лапласа. Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р появления события А в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности P_n(m) удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить .  
   Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности .  
   Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить .  

    

Если  возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x₁, x₂, ..., x_n, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой 

       

                                                            

 

    Эту таблицу  называют рядом распределения случайной величины . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости.  
   По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины , а по вертикальной оси - значения функции . График функции р(х) изображен на рисунке. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

                                                

Например: Пусть событие А — появление одного очка при бросании игральной кости; Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события А при десяти бросаниях игральной кости. Значения функции р(х) (закона распределения) приведены в следующей таблице:  
 

  

   Вероятности p(x_i) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рисунке.  

 
 

Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства  
   

Рассмотрим  функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е. 

 

   Эта функция  называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.  
   Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам .  
   Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная величина примет значение, меньшее . Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие , т.е. ; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам . Используя аксиому сложения, получаем  

   

Отсюда 

    

Но по определению  функции распределения F(x), имеем , ; Следовательно,

Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.

 
   Рассмотрим основные свойства функции  распределения.  

   1°. Функция распределения является неубывающей.  
   В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна,

   то . Поэтому , т.е. .

 
   2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .  
  и .

 
   3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из  

   возможных значений x_i, равна скачку функции распределения в точке xi.  
   Действительно, пусть x_i - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в предыдущей формуле , , получим  

 

   

     В пределе при вместо вероятности попадания случайной величины на интервал получим вероятность того, что величина примет данное значение x_i:

 
 

Непрерывные случайные величины 

 
   Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные  величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае, дискретной случайной величиной:  

                                                              

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем х.  
   Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция , удовлетворяющая для любых значений x равенству

 

    

    Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода.  
   Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x₁<x₂, то

 

   

      Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием [x₁,x₂], ограниченной сверху кривой