Логико-дидактический анализ темы «Многоугольники»

Логико-дидактический  анализ темы «Многоугольники» 

      Анализ  темы «Многоугольники» будет выполнен по учебнику А.В. Погорелова [113].

1. Цели образовательные и воспитательные изучения темы «Многоугольники».
1. Продолжить раскрытие содержания геометрии как дедуктивной системы знаний:

а) построить  систему определений основных фигур  темы на основе логической связи их между собой;

б) раскрыть конструктивную природу определений  многоугольника и угла с учетом нового подхода (как части плоскости);

     в) раскрыть операционный состав единого математического приема неполной индукции, используемого при доказательстве основных утверждений темы, и степень строгости проводимых доказательств.

   2. Систематизировать и обобщить некоторые метрические свойства многоугольников, рассмотренные ранее для треугольников и четырехугольников и в связи с окружностью.

   3. Типизировать математические задачи, раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов, показать практические приложения изучаемой в данной теме теории.

  Непосредственными мотивами изучения этой темы могут быть следующие:

  1) Весь понятийный аппарат темы составит основу понятийного аппарата темы «Многогранники» в курсе стереометрии.

  2) Изучаемые свойства правильных многоугольников применяются при конструировании различных деталей (гайки восьмиугольные и шестиугольные) и сооружений (можно решить задачи № 21. 22, 40).

  3) Теория и практика паркетов построена на свойствах многоугольников и особенно правильных многоугольников (статья А. Н. Колмогорова «Паркеты и правильные многоугольники», [72]).

  4) На основе свойств правильных многоугольников можно решать интересные задачи на разбиение фигур (см.: Квант.—1982.— № 12). Решение таких задач развивает логическое и конструктивное мышление учащихся.

2. Логико-математический анализ темы. Материал в теме организован на дедуктивной основе, так как всем фигурам, вводимым в теме, даются определения. Можно проследить логическую цепочку в конструировании определений фигур.

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выстроенная цепочка позволяет решать вопросы раскрытия логического действия – конструирования определений объектов.

      Математический  анализ этой цепочки связанных понятий  показывает, что наиболее трудными для объяснения будут понятия  плоского и выпуклого многоугольников, так как здесь используются такие объекты, как часть плоскости  и принадлежность  прямой полуплоскости. Названные понятия вводятся на основе иллюстраций, и этот факт накладывает определенные требования на использование наглядности. Существенно новым и важным для данного курса геометрии является вводимое здесь понятие плоского угла. Так как по современной программе вопросы, связанные с длиной дуги и радианной мерой угла, изучаются в связи с изучением тригонометрических функций, то здесь данные понятия можно только актуализировать.

  В теме доказывается четыре утверждения. Одно — о длине ломаной —фактически  есть обобщение неравенства треугольника. Второе — о сумме углов выпуклого  многоугольника — есть обобщение  утверждения о сумме углов  треугольника. Третье — конструктивная теорема существования правильного многоугольника. И четвертое дает в определенной мере обоснование числа p.

  В основе доказательства первых двух утверждений  лежит идея обобщения неравенства  треугольника и суммы углов треугольника, она же используется и как прием доказательства. От одного неравенства треугольника переходим к следующему звену и т. д. и индуктивно делаем общий вывод. Аналогичный прием и в двух следующих теоремах. Поэтому необходимо раскрыть операционный состав приема и суть умозаключения по индукции, чтобы были усвоены и действия, приводящие к обоснованию утверждения.

  Значительные  содержательные сложности скрыты в  доказательстве теоремы об отношении длины окружности к диаметру, так как здесь неявно используется понятие предела. Опять важно использование средств наглядности, особенно здесь хорошо использовать мультфильм.

  Факты, связывающие длину стороны правильного  многоугольника с радиусом окружности, устанавливаются в значительной мере алгебраически.

    Математические задачи, приведенные  в учебнике, можно по соответствию теоретическим сведениям объединить в пять групп:

первая  группа задачи — № 1—7, вторая —  № 8—18, третья № 19— 29, четвертая № 30—40, пятая № 41—47.

  В соответствии с. обязательными результатами решение «типичных» задач второй, третьей и четвертой групп должно быть хорошо отработано в классе и со всеми учащимися.

  Для определения «типичных» задач необходимо наборы групп задач учебника сравнить с обязательными результатами и  выделить их пересечение. В каждой из групп есть задачи, решая которые можно формировать основные элементы математической деятельности на школьном уровне. Из первой группы это задачи № 5, 7; из второй — № 9, 13, 14, 15, 16, 18; из третьей—№ 23, 24, 25; из четвертой— № 38, 39.

    Выделение основного («ядерного») материала темы, установление групп математических задач, соответствующих основному материалу, выделение «типичных» задач группы и задач, позволяющих обучать математической деятельности, позволяют определить основные учебные задачи и действия по их решению.

  3. Учебные задачи и действия, им адекватные. Основной учебной задачей темы, как вытекает из целей обучения теме и анализа содержания учебного материала, может быть формирование нового понимания геометрической фигуры как части плоскости и раскрытие некоторых ее конструктивных и метрических свойств на основе решения математических задач.

  При решении этой учебной задачи можно  решить следующие подзадачи:

  а) Раскрыть логическую структуру взаимосвязи  определений фигур темы от ломаной  до правильного многоугольника. Результатом решения этой подзадачи будет «цепочка» взаимосвязанных определений и умения конструировать их, выделяя родовое свойство и видовые отличия. Материал темы позволяет (сконцентрировано в одном месте восемь взаимосвязанных объектов) действие конструирования определений фигур сделать актуально значимым.

  б) Раскрыть структуру приема доказательства утверждений по индукции. Результат  решения – овладение последовательностью  действий, составляющих прием доказательства по индукции.

  в) Раскрыть соотношение между линейными и угловыми элементами правильных многоугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей и конкретизировать его при решении математических задач. Результат решения — последовательность действий при применении формул к решению математических задач, так как эти действия в значительной мере однообразны во всех задачах. А именно эти задачи составляют основное содержание задач обязательных результатов обучения.

  г) Раскрыть специфику получения формулы  длины окружности (на основе интуитивного понимания понятия «близко» между периметрами вписанного и описанного правильных многоугольников) и применить ее к нахождению длин окружностей и их частей. Результат решения — понимание особого приема доказательства теоремы и последовательность операций по применению формулы в аналогичных задачах.

 д) Овладеть приемами поиска решения математических задач путем использования общих  приемов решения задач на доказательство и конкретных эвристик, использующих выведенные в теме свойства фигур. Результат решения — актуализированные общие приемы поиска решения задач на доказательство и специфические эвристики.

   4. Средства и приемы обучения. Средства: модели плоских и неплоских ломаных; модели и чертежи многоугольников (выпуклых, невыпуклых, правильных, вписанных и т. п.); магнитная доска, складной метр; динамическая модель описанного и вписанного многоугольников; математические задачи как средство подведения под понятие фигуры и конкретизации теоретического факта; математические задачи как цель реализации математической деятельности на школьном уровне.

П р  и е м ы: использование графов для построения «родословной» понятия; составление пошагового доказательства теоремы 12.1 для создания возможностей переноса структуры доказательства на доказательство последующих теорем: 12.2 и 12.3; работа с учебником при доказательстве теорем 12.2 и 12.3; составление таблиц формул для а_n и b_nчерез R и r и представление их в классе для постепенного, непроизвольного запоминания; набор эвристик при обучении поиску решения задач.  

  5. Формы контроля и оценки. Контролироваться и оцениваться при обучении данной теме будет следующее: 1) знание основных («ядерных») фактов: определения правильного многоугольника;

теоремы существования правильного многоугольника (возможности вписания (описания) правильного многоугольника в окружность); формулы, выражающей зависимость а_n от R и г, обоснования числа p, плоского угла; 2) владение методом доказательства по индукции, приемом составления «родословной» взаимосвязанных определений фигур; приемом обоснования числа p; общими приемами решения задач, конкретизирующих теоретические факты на уровне обязательных результатов обучения; общими приемами поиска решения нестандартных математических задач.

 На  основе логико-дидактического анализа  темы, который возможно выполнять с разной степенью детализации и конкретизации. можно далее решать различные методические задачи.

  В частности, на первых практических занятиях, после того как будут усвоены  общие подходы выполнения логико-дидактического анализа тем, необходимо решить методическую задачу: «Составить таблицу — развернутый тематический план изучения темы «Многоугольники» (табл. 17)».

 Дадим комментарий к каждой графе.

  1. Количество уроков взять пока такое же, как в программе, так как нет учета работы реального класса и конкретного учителя (см.: Математика в шк.— 1985.—№ 6).

  2. Темы уроков сформулировать на основе логико-дидактического анализа темы, но каждый„урок должен иметь свою тему.

 3. Цели уроков детерминированы только содержанием материала и получат корректировку в реальном классе. Сформулированные ранее учебные задачи и подзадачи существенно помогают постановке целей урока.

 4—5. Распределение математических задач по урокам и на домашние и классные детерминируется целями урока и обязательными результатами обучения (см.: Математика в шк.—1985.—№ 3).

6. Самостоятельные работы зависят от реализуемых целей и вида деятельности учащихся на уроке. Их содержание приведено в журнале «Математика в школе».— 1985.— № 1. В этой графе важно предусмотреть степень самостоятельности выполнения учащимися каждой самостоятельной работы: работа проводится с указанием общих рекомендаций о ее выполнении, с использованием учебников и тетрадей, с использованием консультаций учителей или товарищей, полностью самостоятельно без какой-либо помощи и т. п.

  7. В графе «ТСО и наглядность» можно использовать результаты анализа темы и конкретные изготовленные наглядные пособия, а также диафильмы и диапозитивы.

  8. Повторение необходимо спланировать с учетом целей обучения.

  9. Материал, способствующий созданию положительной мотивации, можно найти в книгах для внеклассной работы.

  Составленное  примерное методическое планирование темы не является обязательным и предметом  обсуждения на занятиях.

  Достоинствами предложенного планирования можно считать объединение в один урок всего понятийного аппарата правильных многоугольников, объединение в один урок доказательства двух теорем, так как метод доказательства их одинаков, концентрацию на небольшом числе уроков изучения теории с целью выделения большего времени для решения различных задач, а не только задач из группы, принадлежащей изучаемой теории, и т. п.