Основные модели, используемые при анализе временных рядов

 

 

 

Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:

∑xij = 1+nn;2 = 1+3030;2 = 465

Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

p = 1 - 6∑d2;n3-n

p = 1 - 64470;303 - 30 = 0.00556

Связь между признаком ei и фактором X слабая и прямая

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе Hi. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:

Tkp = tα k 1 - p2;n - 2

где n - объем выборки; p - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.

Если |p| <Тkp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| >Tkp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0.05/2;28) = 2.048

Tkp = 2.048 1 - 0.005562;30 - 2 = 0.39

Поскольку Tkp> p, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.

Проверим гипотезу H0: гетероскедастичностьотсутсвует.

Поскольку 2.048 > 0.39, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

3. Тест Голдфелда-Квандта.

В данном случае предполагается, что стандартное отклонение σi = σ(εi) пропорционально значению xi переменной X в этом наблюдении, т.е. σ2i = σ2x2i , i = 1,2,…,n.

Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются  по величине X.

2. Вся упорядоченная выборка  после этого разбивается на  три подвыборки размерностей k,(n-2k),k.

3. Оцениваются отдельные  регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей  подвыборки (k последних наблюдений).

4. Для сравнения соответствующих  дисперсий строится соответствующая F-статистика:

F = S3/S1

Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v1 = v2 = n – m - 1.

5. Если F >Fkp, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Этот же тест может использоваться при предположении об обратной пропорциональности между σi и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера имеет вид:

F = S1/S3

1. Упорядочим все значения  по величине X.

2. Находим размер подвыборки k = 30/3 = 11.

3. Оценим регрессию для  первой подвыборки.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑x = ∑y

a0∑x + a1∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид:

11a0 + 523a1 = 292

523a0 + 38631a1  = 12537

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = -0.0978, a1 = 31.2

 

 

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
-16	35	256	1225	-560	32.76	5.02
10	31	100	961	310	30.22	0.61
10	32	100	1024	320	30.22	3.18
22	23	484	529	506	29.04	36.53
30	24	900	576	720	28.26	18.16
69	29	4761	841	2001	24.45	20.73
70	28	4900	784	1960	24.35	13.33
70	29	4900	841	2030	24.35	21.63
81	18	6561	324	1458	23.27	27.81
87	26	7569	676	2262	22.69	10.98
90	17	8100	289	1530	22.39	29.09
523	292	38631	8070	12537	292	187.05

 

 

 

Здесь S1 = 187.05

Оценим регрессию для третьей подвыборки.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑x = ∑y

a0∑x + a1∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид:

11a0 + 1794a1 = -144

1794a0 + 296494a1  = -28911

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = -1.39, a1 = 213.29

 

 

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
140	0	19600	0	0	18.96	359.53
140	0	19600	0	0	18.96	359.53
150	-1	22500	1	-150	5.08	36.97
151	-6	22801	36	-906	3.69	93.94
161	11	25921	121	1771	-10.19	448.95
161	11	25921	121	1771	-10.19	448.95
162	-2	26244	4	-324	-11.58	91.71
168	-4	28224	16	-672	-19.91	252.97
171	-26	29241	676	-4446	-24.07	3.73
181	-21	32761	441	-3801	-37.95	287.31
209	-106	43681	11236	-22154	-76.82	851.66
1794	-144	296494	12652	-28911	-144	3235.27

 

 

 

Здесь S3 = 3235.27

Число степеней свободы v1 = v2 = n – m - 1 = 30 - 1 - 1 = 28

Fkp(1,28) = 4.2

Строим F-статистику:

F = 3235.27/187.05 = 17.3

Поскольку F >Fkp = 4.2, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.