Основные модели, используемые при анализе временных рядов

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= -0.742 = 0.5413

т.е. в 54.13 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 45.87 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

 

 

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
139	1	-2.28	55.75	10.78	967.21	3.28
117	23	5.32	211.22	312.54	82.81	0.77
151	-6	-6.43	209.28	0.19	1857.61	0
181	-21	-16.8	868.28	17.64	5343.61	0
70	28	21.57	381.55	41.39	1436.41	0.23
99	15	11.54	42.68	11.95	79.21	0.23
22	23	38.16	211.22	229.76	7378.81	0.66
81	18	17.76	90.88	0.0554	723.61	0.0131
120	7	4.28	2.15	7.37	146.41	0.39
115	7	6.01	2.15	0.98	50.41	0.14
161	11	-9.89	6.42	436.28	2819.61	1.9
171	-26	-13.34	1187.95	160.18	3981.61	0
209	-106	-26.48	13102.62	6323.67	10221.21	0
168	-4	-12.31	155.42	69	3612.01	0
140	0	-2.63	71.68	6.91	1030.41	0
10	31	42.31	507.75	127.82	9584.41	0.36
140	0	-2.63	71.68	6.91	1030.41	0
69	29	21.91	421.62	50.23	1513.21	0.24
-16	35	51.29	704.02	265.45	15351.21	0.47
87	26	15.69	307.42	106.28	436.81	0.4
162	-2	-10.23	109.55	67.78	2926.81	0
161	11	-9.89	6.42	436.28	2819.61	1.9
120	22	4.28	183.15	313.85	146.41	0.81
70	29	21.57	421.62	55.25	1436.41	0.26
120	6	4.28	6.08	2.94	146.41	0.29
90	17	14.65	72.82	5.5	320.41	0.14
10	32	42.31	553.82	106.21	9584.41	0.32
30	24	35.39	241.28	129.79	6068.41	0.47
90	25	14.65	273.35	107.04	320.41	0.41
150	-1	-6.09	89.62	25.86	1772.41	0
3237	254	254	20569.47	9435.9	93188.7	13.68

 

 

 

2. Оценка параметров уравнения  регрессии.

2.1. Значимость коэффициента  корреляции.

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

tнабл = rxy n-2;1 - r2xy

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл<tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| >tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

tнабл = 0.74 28;1 - 0.742 = 7.57

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=28 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл>tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл>tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.2. Интервальная оценка  для коэффициента корреляции (доверительный  интервал).

r - tкрит 1-r2;n; r + tкрит 1-r2;n

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

0.74 - 2.0481-0.742;30; 0.74 + 2.0481-0.742;30

r(-0.91;-0.56)

2.3. Анализ точности определения  оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = ∑yi - yx2;n - m - 1

S2y = 9435.9;28 = 337

S2y = 337 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy  = S2y  = 337 = 18.36

Sy = 18.36 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sa = Sy   ∑x2;n Sx

Sa = 18.36  442461;30 • 55.73 = 7.3

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

Sb =  Sy; n Sx

Sb =  18.36; 30 • 55.73 = 0.0601

2.4. Доверительные интервалы  для зависимой переменной.

Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bxp ± ε)

где

ε = tкрит Sy 1;n + x-x p2;∑xi - x2

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 110

ε = 2.048 • 18.36 1;30 + 107.9 - 1102;93188.7 = 6.87

(45.76 -0.35*110 ± 6.87)

(0.87;14.61)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bxi ± ε)

где

ε = tкрит Sy 1 + 1;n + ∑x-xi2;∑xi - x2

ε = 2.048 • 18.36 1 + 1;30 + 107.9 - xi2;93188.7

tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048

 

 

xi	y = 45.76 -0.35xi	εi	ymin = y - εi	ymax = y + εi
139	-2.28	38.41	-40.69	36.13
117	5.32	38.23	-32.91	43.56
151	-6.43	38.58	-45.02	32.15
181	-16.8	39.26	-56.06	22.46
70	21.57	38.5	-16.93	60.07
99	11.54	38.23	-26.69	49.78
22	38.16	39.65	-1.5	77.81
81	17.76	38.36	-20.6	56.13
120	4.28	38.25	-33.96	42.53
115	6.01	38.23	-32.21	44.24
161	-9.89	38.77	-48.66	28.89
171	-13.34	39	-52.34	25.66
209	-26.48	40.19	-66.67	13.72
168	-12.31	38.93	-51.23	26.62
140	-2.63	38.42	-41.05	35.79
10	42.31	40.07	2.23	82.38
140	-2.63	38.42	-41.05	35.79
69	21.91	38.52	-16.6	60.43
-16	51.29	41.15	10.14	92.44
87	15.69	38.3	-22.61	53.99
162	-10.23	38.79	-49.03	28.56
161	-9.89	38.77	-48.66	28.89
120	4.28	38.25	-33.96	42.53
70	21.57	38.5	-16.93	60.07
120	4.28	38.25	-33.96	42.53
90	14.65	38.28	-23.63	52.93
10	42.31	40.07	2.23	82.38
30	35.39	39.4	-4.01	74.8
90	14.65	38.28	-23.63	52.93

 

 

 

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно  коэффициентов линейного уравнения  регрессии.

1) t-статистика. Критерий  Стьюдента.

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля  параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение  t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).

Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение  t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение  t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.

tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048

tb = b;Sb

tb = -0.35;0.0601 = 5.75

Поскольку 5.75  >  2.048, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

ta = a;Sa

ta = 45.76;7.3 = 6.27

Поскольку 6.27  >  2.048, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - tкритSb; b + tкритSb)

(-0.35 - 2.048 • 0.0601; -0.35 + 2.048 • 0.0601)

(-0.47;-0.22)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкритSa; a + tкрит Sa)

(45.76 - 2.048 • 7.3; 45.76 + 2.048 • 7.3)

(30.81;60.72)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

R2 = 1 - ∑yi - yx2; ∑yi - y2 = 1 - 9435.9;20569.47 = 0.5413

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая  гипотеза о том, что уравнение  в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяют фактическое  значение F-критерия:

F = R2;1 - R2n - m -1;m

F = 0.5413;1 - 0.541330-1-1;1 = 33.04

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение  определяется по таблицам распределения  Фишера для заданного уровня  значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы  для общей суммы квадратов (большей  дисперсии) равно 1 и число степеней  свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной  регрессии равно n-2.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то  говорят, что нет основания отклонять  нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=28, Fтабл = 4.2