Основные модели, используемые при анализе временных рядов

Существует два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод - это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод - использование критерия Дарбина - Уотсона.

Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия .

Выражение

(1.10.1)

представляет собой «отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r1, ᴨȇрвого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу ᴨȇрвого порядка. Итак, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.

Значение d в выборке зависит одновременно от последовательности zt и от значений t( для t = 1,2, . . . ,N). Однако Дарбин и Уотсон показали, что для заданных значений t значение d обязательно заключено между двумя границами d U и d L , не зависящими от значений, принимаемых zt , и являющимися функциями лишь чисел N , именно d L d d U.

Для некотоҏыҳ значений последовательности zt границы d U и d L могут достигаться. Интервал [d L ,d U ] является, следовательно, наименьшим из возможных, если не принимать во внимание точные значения zt.

Границы d U и d L представляют случайные величины, распределение котоҏыҳ можно определить с помощью точных гипотез относительно распределения t.

Для практического использования таблицы полученное значение d* следует сравнить с d1 и d2.

а) Если d* < d1, то вероятность столь малого значения наверняка меньше . Гипотеза независимости отбрасывается.

б) Если d* > d2, то вероятность столь малого значения наверняка больше . Гипотеза независимости не отбрасывается.

в) Если d 1 d* d 2 , то приведённые таблицы оставляют вопрос открытым. Возможно, что гипотезу независимости при уровне значимости следует отбросить. Однако этого нельзя узнать без изучения закона распределения вероятностей d для последовательности ᴨȇременныхzt . Практически в этом случае часто довольствуются указанием на то , что значение d* попадает в область неопределённости критерия.

В настоящее время принято приводить значение d* вместе с регрессиями для временных рядов и указывать на расположение этого значения относительно d1 и d 2 .

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина - Уотсона.

Во-ᴨȇрвых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых ᴨȇременных лаговые значения результативного признака, то есть к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.

Во-вторых, методика расчёта и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков ᴨȇрвого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В-третьих, критерий Дарбина - Уотсона даёт достоверные результаты только для больших выборок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Практическое задание.

 

Корреляционный анализ.

 

Уравнение парной регрессии.

Использование графического метода.

Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Причины существования случайной ошибки:

1. Невключение в регрессионную  модель значимых объясняющих  переменных;

2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления  – это попытка общего выражения  совокупности решений отдельных  индивидов о расходах. Это лишь  аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

3. Неправильное описание  структуры модели;

4. Неправильная функциональная  спецификация;

5. Ошибки измерения.

Так как отклонения εi  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров  α и β регрессионной модели  являются соответственно величины  а и b, которые носят случайный  характер, т.к. соответствуют случайной  выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

30a + 3237 b = 254

3237 a + 442461 b  = -4804

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.3456, a = 45.7622

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -0.3456 x + 45.7622

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

 

 

x	y	x2	y2	x • y
139	1	19321	1	139
117	23	13689	529	2691
151	-6	22801	36	-906
181	-21	32761	441	-3801
70	28	4900	784	1960
99	15	9801	225	1485
22	23	484	529	506
81	18	6561	324	1458
120	7	14400	49	840
115	7	13225	49	805
161	11	25921	121	1771
171	-26	29241	676	-4446
209	-106	43681	11236	-22154
168	-4	28224	16	-672
140	0	19600	0	0
10	31	100	961	310
140	0	19600	0	0
69	29	4761	841	2001
-16	35	256	1225	-560
87	26	7569	676	2262
162	-2	26244	4	-324
161	11	25921	121	1771
120	22	14400	484	2640
70	29	4900	841	2030
120	6	14400	36	720
90	17	8100	289	1530
10	32	100	1024	320
30	24	900	576	720
90	25	8100	625	2250
150	-1	22500	1	-150
3237	254	442461	22720	-4804

 

 

 

1. Параметры уравнения  регрессии.

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  3237;30 = 107.9

y = ∑yi;n =  254;30 = 8.47

xy = ∑xiyi;n =  -4804;30 = -160.13

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n - x2 =  442461;30 - 107.92 = 3106.29

S2y = ∑y2i;n - y2 =  22720;30 - 8.472 = 685.65

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  3106.29 = 55.73

Sy = S2y =  685.65 = 26.18

1.1. Коэффициент корреляции 

Ковариация.

covxy = x • y - x • y = -160.13 - 107.9 • 8.47 = -1073.69

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

rxy = x • y -x • y ;Sx • Sy = -160.13 - 107.9 • 8.47;55.73 • 26.18 = -0.74

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 <rxy< 0.3: слабая;

0.3 <rxy< 0.5: умеренная;

0.5 <rxy< 0.7: заметная;

0.7 <rxy< 0.9: высокая;

0.9 <rxy< 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X  высокая и обратная.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

rxy = bSx;Sy

1.2. Уравнение регрессии (оценка  уравнения регрессии).

yx = rxy x - x;Sx Sy  + y = -0.74 x - 107.9;55.73 26.18 + 8.47 = -0.35x  + 45.76

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -0.35 x  + 45.76

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -0.35 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -0.35.

Коэффициент a = 45.76 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь междуу и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

1.3. Коэффициент эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат уот своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = ∂y;∂x x;y = bx;y

E = -0.35107.9;8.47 = -4.4

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

Бета – коэффициент

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

βj = bjSx;Sy = -0.3555.73;26.18 = -0.74

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к уменьшению среднего значения Y на 0.74 среднеквадратичного отклонения Sy.

1.4. Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

A = ∑|yi - yx| : yi;n100%

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

A = 13.68;30 100% = 45.59%

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.5. Эмпирическое корреляционное  отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит дляизмерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

η = ∑y - yx2; ∑yi - y2

η = 11133.57;20569.47 = 0.74

где

y - yx2 = 20569.47 - 9435.9 = 11133.57

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = -0.74.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R = 1 - ∑yi - yx2; ∑yi - y2

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.

1.6. Коэффициент детерминации.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.