Основные модели, используемые при анализе временных рядов

Поскольку фактическое значение F >Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

t2r = t2b = F

Дисперсионный анализ.

При анализе качества модели регрессии используется теорема о разложении дисперсии, согласно которой общая дисперсия результативного признака может быть разложена на две составляющие – объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

∑(yi - ycp)2 = ∑(y(x) - ycp)2 + ∑(y - y(x))2

где

∑(yi - ycp)2 - общая сумма квадратов отклонений;

∑(y(x) - ycp)2 - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

 ∑(y - y(x))2 - остаточная сумма квадратов отклонений.

 

 

Источниквариации	Суммаквадратов	Числостепенейсвободы	Дисперсияна 1 степеньсвободы	F-критерий
Модель	11133.57	1	11133.57	33.04
Остаточная	9435.9	28	337	1
Общая	20569.47	30-1

 

 

 

Показатели качества уравнения регрессии.

 

Показатель	Значение
Коэффициентдетерминации	0.54
Среднийкоэффициентэластичности	-4.4
Средняяошибкааппроксимации	45.59

 

 

Проверка на наличие автокорреляции остатков.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет  в модели какой-либо важной  объясняющей переменной либо  неправильный выбор формы зависимости  обычно приводят к системным  отклонениям точек наблюдения  от линии регрессии, что может  обусловить автокорреляцию.

2. Инерция. Многие экономические  показатели (инфляция, безработица, ВНП  и т.д.) обладают определенной  цикличностью, связанной с волнообразностью  деловой активности. Поэтому изменение  показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

3. Эффект паутины. Во многих  производственных и других сферах  экономические показатели реагируют  на изменение экономических условий  с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание данных. Зачастую  данные по некоторому продолжительному  временному периоду получают  усреднением данных по составляющим  его интервалам. Это может привести  к  определенному сглаживанию  колебаний, которые имелись внутри  рассматриваемого периода, что в  свою очередь может служить  причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод 

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения εi с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения εi (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости εi от εi-1

2. Коэффициент автокорреляции.

rei = εiεi-1-εi•εi-1;SeiSei-1

Если коэффициент автокорреляции rei< 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

3. Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

 

 

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
1	-2.28	3.28	10.78	0
23	5.32	17.68	312.54	207.24
-6	-6.43	0.43	0.19	297.49
-21	-16.8	-4.2	17.64	21.44
28	21.57	6.43	41.39	113.06
15	11.54	3.46	11.95	8.86
23	38.16	-15.16	229.76	346.52
18	17.76	0.24	0.0554	236.95
7	4.28	2.72	7.37	6.15
7	6.01	0.99	0.98	2.99
11	-9.89	20.89	436.28	396
-26	-13.34	-12.66	160.18	1125.17
-106	-26.48	-79.52	6323.67	4470.97
-4	-12.31	8.31	69	7713.82
0	-2.63	2.63	6.91	32.24
31	42.31	-11.31	127.82	194.17
0	-2.63	2.63	6.91	194.17
29	21.91	7.09	50.23	19.88
35	51.29	-16.29	265.45	546.63
26	15.69	10.31	106.28	707.66
-2	-10.23	8.23	67.78	4.31
11	-9.89	20.89	436.28	160.13
22	4.28	17.72	313.85	10.06
29	21.57	7.43	55.25	105.73
6	4.28	1.72	2.94	32.69
17	14.65	2.35	5.5	0.4
32	42.31	-10.31	106.21	160.07
24	35.39	-11.39	129.79	1.18
25	14.65	10.35	107.04	472.58
-1	-6.09	5.09	25.86	27.68
			9435.9	17616.25

 

 

 

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

DW = ∑ei - ei-12; ∑ei2

DW = 17616.25;9435.9 = 1.87

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 30 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d1< DW и d2< DW < 4 - d2.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.87 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=30 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.35; d2 = 1.49.

Поскольку 1.35 < 1.87 и 1.49 < 1.87 < 4 - 1.49, то автокорреляция остатков отсутствует.

Проверка наличия гетероскедастичности.

1) Методом графического  анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i.

Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи теста  ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку ei и фактору X.

 

 

X	ei	ранг X, dx	рангei, dy
139	3.28	19	9
117	17.68	15	26
151	0.43	23	2
181	4.2	29	11
70	6.43	7	13
99	3.46	13	10
22	15.16	4	24
81	0.24	9	1
120	2.72	16	8
115	0.99	14	3
161	20.89	24	28
171	12.66	28	23
209	79.52	30	30
168	8.31	27	17
140	2.63	20	6
10	11.31	2	21
140	2.63	21	7
69	7.09	6	14
-16	16.29	1	25
87	10.31	10	19
162	8.23	26	16
161	20.89	25	29
120	17.72	17	27
70	7.43	8	15
120	1.72	18	4
90	2.35	11	5
10	10.31	3	18
30	11.39	5	22
90	10.35	12	20
150	5.09	22	12

 

 

 

Матрица рангов.

 

 

ранг X, dx	рангei, dy	(dx - dy)2
19	9	100
15	26	121
23	2	441
29	11	324
7	13	36
13	10	9
4	24	400
9	1	64
16	8	64
14	3	121
24	28	16
28	23	25
30	30	0
27	17	100
20	6	196
2	21	361
21	7	196
6	14	64
1	25	576
10	19	81
26	16	100
25	29	16
17	27	100
8	15	49
18	4	196
11	5	36
3	18	225
5	22	289
12	20	64
22	12	100
465	465	4470