Метод экспертных оценок

оценок с весами компетентности и важности показателей при измерении свойств

объектов в кардинальных шкалах основывается на предположении о выполнении

аксиом теории полезности фон Неймана-Моргенштерна как для индивидуальных, так

и для групповой  оценки и условий неразличимости объектов в групповом

отношении, если они  неразличимы во всех индивидуальных оценках (частичный

принцип Парето). В  реальных задачах эти условия, как  правило, выполняются,

поэтому получение  групповой оценки объектов путем суммирования с весами

индивидуальных оценок экспертов широко применяется на практике.

Коэффициенты компетентности экспертов можно вычислить по апостериорным

данным, т. е. по результатам  оценки объектов. Основной идеей этого  вычисления

является предположение о том, что компетентность экспертов должна

оцениваться по степени  согласованности их оценок с групповой  оценкой

объектов.

Алгоритм вычисления коэффициентов компетентности экспертов имеет вид

рекуррентной процедуры [12]:

                                                                                                       

(5.4)

                                                                                                       

(5.5)

                                                                                    

(5.6)

Вычисления начинаются с t=1. В формуле (5.4) начальные значения

коэффициентов компетентности принимаются одинаковыми и равными

Тогда по формуле (5.4) групповые оценки объектов первого приближения равны

средним арифметическим значениям оценок экспертов [12]

                                                                                                        

(5.7)

Далее вычисляется  величина по формуле (5.5) [12]:

                                                                                                                       

(5.8)

и значение коэффициентов  компетентности первого приближения по формуле (5.6)

[12]:

                                                                                                                      

(5.9)

Используя коэффициенты компетентности первого приближения, можно повторить весь

процесс вычисления по формулам (5.4), (5.5), (5.6) и получить вторые

приближения величин 

Повторение рекуррентной процедуры вычислений оценок объектов и коэффициентов

компетентности  естественно ставит вопрос о ее сходимости. Для рассмотрения

этого вопроса  исключим из уравнений (5.4), (5.6) переменные

и и представим эти

уравнения в векторной форме [12]

                                                                                  

(5.10)

где матрицы  В  размерности и С  размерности равны [12]

                                                                                                   

(5.11)

Величина  в уравнениях (5.10) определяется по формуле (5.5).

Если матрицы  В и С неотрицательны и неразложимы, то, как это

следует из теоремы  Перрона – Фробениуса, при 

векторы и

- сходятся к  собственным векторам матриц  В и С, соответствующим

максимальным собственным числам этих матриц [12]

                                                                                                              

(5.12)

Предельные значения векторов х и k можно вычислить из уравнений [12]:

                                                                                         

(5.13)

где максимальные собственные числа матриц  В  и С.

Условие неотрицательности  матриц  В  и С легко выполняется

выбором неотрицательных  элементов 

матрицы Х оценок объектов экспертами.

Условие неразложимости матриц В и С практически выполняется,

поскольку, если эти  матрицы разложимы, то это означает, что эксперты и объекты

распадаются на независимые  группы. При этом каждая группа экспертов оценивает

только объекты  своей группы. Естественно, что получать групповую оценку в этом

случае нет смысла. Таким образом, условия неотрицательности  и неразложимости

матриц  В  и С, а следовательно, и условия сходимости процедур

(5.4), (5.5), (5.6) в практических условиях выполняются.

Следует заметить, что практическое вычисление векторов групповой оценки

объектов и коэффициентов  компетентности проще выполнять по рекуррентным

формулам (5.4), (5.5), (5.6). Определение предельных значений этих векторов

по уравнению (5.13) требует применения вычислительной техники.

Рассмотрим теперь случай, когда эксперты производят оценку множества объектов

методом ранжирования так, что величины

есть ранги. Обработка  результатов ранжирования заключается в построении

обобщенной ранжировки. Для построения такой ранжировки введем конечномерное

дискретное пространство ранжировок и метрику в этом пространстве. Каждая

ранжировка множества объектов j-м экспертом есть точка

в пространстве ранжировок.

Ранжировку  можно

представить в  виде матрицы парных сравнений, элементы которой определим

следующим образом [12]:

    

Очевидно, что  ,

поскольку каждый объект эквивалентен самому себе. Элементы матрицы

антисимметричны .

Если все ранжируемые  объекты эквивалентны, то все элементы матрицы парных

сравнений равны  нулю. Такую матрицу будем обозначать

и считать, что  точка в пространстве ранжировок, соответствующая матрице 

, является началом  отсчета.

Обращение порядка  ранжируемых объектов приводит к  транспонированию матрицы

парных сравнений.

Метрика как

расстояние между  i-й и j-й ранжировками определяется

единственным образом  формулой [12]

    

если выполнены  следующие 6 аксиом [12]:

1. причем равенство достигается, если ранжировки и тождественны;

2.

3.

причем равенство  достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками

и . Понятие «лежит

между» означает, что суждение о некоторой паре

объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в 

, либо в  или же в

в

а в 

4.

где получается из

некоторой перестановкой  объектов, а

из  той же самой

перестановкой. Эта  аксиома утверждает независимость расстояния от

перенумерации объектов.

5. Если две ранжировки 

, одинаковы всюду,

за исключением  n-элементного множества элементов, являющегося

одновременно сегментом  обеих ранжировок, то

можно вычислить, как если бы рассматривалась ранжировка только этих n

-объектов. Сегментом  ранжировки называется множество,  дополнение которого

непусто и все  элементы этого дополнения находятся  либо впереди, либо позади

каждою элемента сегмента. Смысл этой аксиомы состоит  в том, что если две

ранжировки полностью согласуются в начале и конце сегмента, а отличие состоит

в упорядочении средних  n-объектов, то естественно принять, что

расстояние между  ранжировками должно равняться расстоянию, соответствующему

ранжировкам средних  n-объектов.

6. Минимальное  расстояние равно единице.

Пространство ранжировок при двух объектах можно изобразить в виде трех точек,

лежащих на одной  прямой. Расстояния между точками  равны 

При трех объектах пространство всех возможных ранжировок состоит из 13 точек.

Используя введенную  метрику, определим обобщенную ранжировку как такую

точку, которая  наилучшим образом согласуется  с точками, представляющими собой

ранжировки экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего

определяют как  медиану и среднюю ранжировку.

Медиана есть такая  точка в пространстве ранжировок, сумма расстояний от

которой до всех точек - ранжировок экспертов является минимальной. В

соответствии с определением медиана вычисляется из условия

    

Средняя ранжировка есть такая точка, сумма квадратов расстояний от которой

до всех точек  – ранжировок экспертов является минимальной. Средняя

ранжировка определяется из условия

    

Пространство ранжировок конечно и дискретно, поэтому медиана и средняя

ранжировка могут  быть только какими-либо точками этого  пространства. В общем

случае медиана и средняя ранжировка могут не совпадать ни с одной из

ранжировок экспертов.

Если учитывается  компетентность экспертов, то медиана и средняя ранжировка

определяются из условий [12]:

      

где -  коэффициенты компетентности экспертов.

Если ранжировка объектов производится по нескольким показателям, то

определение медианы  вначале производится для каждого эксперта по всем

показателям, а  затем вычисляется медиана по множеству экспертов [12]:

                     (j=1,2,.,m);

    

где - коэффициенты весов показателей.

Основным недостатком  определения обобщенной ранжировки в виде медианы или

средней ранжировки является трудоемкость расчетов. Естественный способ

отыскания или  

в виде перебора всех точек пространства ранжировок неприемлем вследствие очень

быстрого роста равномерности пространства при увеличении количества объектов