Свойства многоугольников и их применение в решении задач

S = a²   (3.10)

S = d²     (3.11)

    Признаки  квадрата:

    Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

 

4.ПРИМЕРЫ  РЕШЕННЫХ ЗАДАЧ.

1. Точка Р лежит внутри прямоугольника ABCD. Докажите, что .

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим параллелограммы BLDP и APCL: по свойству d₁²+d₂²=2(a²+b²) получим

Т.к. ABCD прямоугольник, то BD=AC. Тогда И . Приравняем полученные равенства:

= .

2. AC – наибольшая сторона треугольника ABC. На АС выбираются точки А₁ и С₁ так, что АС₁=АВ и СА₁=СВ. Затем на стороне АВ берется точка А₂ так, что АА₁=АА₂, а на стороне CD – точка С₂ так, что СС₁=СС₂. Докажите, что точки А₁, А₂, С₁, С₂ лежат на одной окружности.

РЕШЕНИЕ: АА₁=АА₂ и АС₁=АВ(по условию задачи), а тока А₁ и А₂ A₁A₂||BC₁? При чем по теореме Фалеса. Можно сделать вывод, что A₁A₂BC₁ равнобокая трапеция. Аналогично можно доказать, что четырехугольник A₁ВС₂С₁ также равнобокая трапеция. Так как эти трапеции правильные, то около них можно описать окружности и соответственно. Мы получили, что точки A₁, В и С₁ принадлежат двум окружностям одновременно, что невозможно, т.к. по свойству окружности: через три точки может проходить только одна окружность. Тогда можно сделать вывод о том, что и совпадают. А следовательно точки А₁, А₂, С₁, С₂ лежат на одной окружности.

3. Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол вокруг некоторой точки.

РЕШЕНИЕ: Выпуклый n-угольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Пусть A₁A₂...A_n -- правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис его углов A_nA₁A₂ и A₁A₂A₃. Тогда треугольники A_nOA₁ и A₂OA₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, из равенства углов n-угольника следует, что треугольники A_nOA₁A₂OA₁ — равнобедренные. Поэтому

OA_n = OA₁ = OA₂,  A_nOA₁ = A₁OA₂.

Аналогично  докажем, что 

OA₁ = OA₂ =...= OA_n, A₁OA₂ = A₂OA₃ =...=       = A_nOA₁ = .

Следовательно, O — центр окружности, проходящей через точки A₁, A₂, ..., A_n. При повороте на угол вокруг точки O данный n-угольник переходит сам в себя.

Пусть теперь известно, что некоторый выпуклый n-угольник A₁A₂...A_n переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки O на угол . Ясно, что эта точка лежит внутри многоугольника, а т.к. многоугольник выпуклый, то

A₁OA₂ +...+ A_nOA₁ = 360^o.

Поскольку вершины многоугольника при повороте переходят в вершины, то точки  A₁, A₂, ..., A_n лежат на окружности с центром O, и

A₁OA₂ = A₂OA₃ =...= A_nOA₁ = .

Поэтому A₁OA₂, A₂OA₃, ..., A_nOA₁ — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все стороны и все углы многоугольника равны, т.е. он правильный.  

Задача4 Докажите, что в правильном 12-угольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ:

Пусть A₁A₂...A₁₂ — правильный 12-угольник. Рассмотрим треугольник A₂A₄A₈. Прямые A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A₃A₈, A₅A₁ и A₁₁A₄ — биссектрисы углов треугольника A₃A₅A₁₁. Отсюда следует, что диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ проходят через одну точку.

Задача5 Пусть О — центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n, X -- произвольная точка плоскости. Докажите, что:

a) +...+ = 0

б) +...+ = n .

РЕШЕНИЕ:

а) Обозначим +...+ = . При повороте на угол вокруг точки O точка переходит в точку (1 i n - 1), а точка A_n — в точку A₁. Поэтому вектор при таком повороте переходит сам в себя. Следовательно, =0.

б)

Задача6 Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X — центр n-угольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть X_k — образ точки X при повороте относительно центра O данного n-угольника, переводящем A_k в A₁. При этом повороте отрезок A_kX переходит в A₁X_k. Следовательно,  A₁X + ... + A_nX = A₁X₁ + ... + A₁X_n. А так как n-угольник  X₁...X_n правильный, то  + ... + = n (см. Задачу5), а значит,  A₁X₁ + ... + A_nX_n n .

Задача7 В правильном n-угольнике (n 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной, окружности?

РЕШЕНИЕ:

Пусть сначала n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m - 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более  1+2(m - 1)=2m-1=n-1 отмеченных точек.

Пусть теперь n = 2m + 1. Диагонали и стороны правильного (2m + 1)-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m концентрических окружностях (по n точек на каждой). Окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 2m = n - 1 отмеченных точек.

В обоих  случаях наибольшее число отмеченных точек, лежащих на одной окружности, равно n.

Задача8 Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что они имеют общий центр.

РЕШЕНИЕ:

Пусть XYZ — данный треугольник, KLM — треугольник, получаемый при продолжении сторон AB, CD и EF шестиугольника ABCDEF (рис.). Пусть O — центр треугольника XYZ, докажем, что он является центром треугольника KLM.

При повороте относительно точки  O на 120⁰ против часовой стрелки прямая AB переходит в прямую, параллельную CD. Поскольку при этом повороте точка X прямой AB переходит в точку Y, то образ прямой AB должен проходить через точку Y, значит совпадать с CD. Поэтому точка O равноудалена от прямых AB и CD. Аналогично доказывается, что она равноудалена от прямых CD и EF. Значит, она является центром окружности, вписанной в треугольник KLM и, тем самым, центром шестиугольника ABCDEF.

Задача9 Окружности, диаметрами которых служат стороны АВ и СD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что ВС || AD.

РЕШЕНИЕ:

Пусть М и N – середины сторон АВ и CD. Опустим из точки D перпендикуляр DP на прямую MN, а из точки М перпендикуляр MQ на СВ. Тогда Q – точка касания прямой CD и окружности с диаметром AB. Прямоугольные треугольники PDN и QMN подобны, поэтому DP=ND*MQ/MN=ND*MA/MN. Аналогично расстояние от точки А до прямой MN равно ND*MA/MN. Следовательно, AD||MN. Аналогично BC||MN.

Задача10 Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что AK + AN = AB. Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника ( KAN + 
KBN + KCN + KDN + KEN + KFN).

РЕШЕНИЕ: Будем считать, что N лежит на AB, а K лежит на AF (рис.4.11). Заметим, что FK = AN. Выберем точку P на BC, точку R на CD, точку S на DE и точку T на EF

так, чтобы выполнялись равенства FK = AN = BP = =CR = DS = ET. Тогда KBN = TAK, KCN =  
= SAT, KDN = RAS, KEN = PAR, KFN =  
= NAP, откуда

KAN+ KBN+ KC+ KDN+ KEN+ KFN= 
= KAN+ TAK+ SAT+ RAS+ PAR+ NAP= 
KAN+ KAN=120^o+120^o=240^o.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В своей работе я изучила свойства многоугольников и как они  применяются на практике.

    Можно сказать, что многоугольник является универсальной фигурой, так как он применяется во многих задачах и обладает множеством интересных свойств. Многоугольники находят своё применение в самых разных науках. Из этого следует ценность многоугольника как фигуры.