Свойства многоугольников и их применение в решении задач

а + b>с, b+с>а, а + с>b                                         (2.2)

  Эта система неравенств равносильна двойному неравенству

|a-b|<2c<a+b                                                (2.3).

13.Площадь  треугольника равна половине  произведения его основаниям  на высоту

14.Площадь  треугольника равна половине  произведения двух его сторон на синус угла между ними.

15.Любой  треугольник можно вписать в  окружность.

16.Около  любого треугольника можно описать  только одну окружность.

17.Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. Каждая сторона треугольника касается одной и только одной из этих окружностей.

2.2. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАК И СВОЙСТВА

       Пример  равнобедренного треугольника

Рис. 2.1.

    Признак равнобедренного треугольника:

    Если  в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

    Свойства  равнобедренного треугольника:

    Для равнобедренного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
3. В равнобедренном треугольнике медианы (а также высоты или биссектрисы), проведенные к боковым сторонам, равны.

2.3. СВОЙСТВА РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

    Пример  равностороннего треугольника

    

    Рис. 2.2.

    Свойства  равностороннего треугольника:

1. У равностороннего треугольника все углы равны между собой и составляют 60°.
2. В равностороннем треугольнике любая биссектриса является одновременно медианой и высотой.
3. В равностороннем треугольнике все медианы (а также высоты или биссектрисы) равны между собой.
4. Точка пересечения медиан (высот, биссектрис) равностороннего треугольника, называемая его центром, является центром вписанной и описанной окружностей.

 
 
 
 

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

    Пример  прямоугольного треугольника

      
 

    

      

    Признаки  прямоугольного треугольника:

1. Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник прямоугольный.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

    Свойства  прямоугольного треугольника:

    Для прямоугольного треугольника справедливы  все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие  свойства:

1. У прямоугольного треугольника только один прямой угол, два других его угла острые.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета.
4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
5. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
6. Гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника совпадает с диаметром этой окружности.
7. Высота прямоугольного прямоугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник на два треугольника, подобных исходному.
8. Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике лежит между медианой и высотой и делит угол между ними пополам.
9. Площадь равна половине произведения его катетов.

 

3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

    Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники  бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Свойства  четырехугольника:

1. Четырехугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.
2. В любом четырехугольнике какие-то две противолежащие вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
3. Прямые, содержащие диагонали любого четырехугольника, пересекаются.
4. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон:

      (3.1)

5. Площадь произвольного выпуклого четырехугольника:

d₁, d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S = d₁d₂ sin    (3.2)

 

6 Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна, 180°.

7 В четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон(Теорема Птолемея).

8 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

    3.1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Параллелограммом  называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. противолежащие стороны равны;
2. противоположные углы равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
5. сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁²+d₂²=2(a²+b²).     (3.3)
6. Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм является прямоугольником.
7. Если параллелограмм вписан в окружность, то он является ромбом.

Признаки параллелограмма:

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 
 

    3.2. ТРАПЕЦИЯ. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ  ТРАПЕЦИИ

    Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны. 
 
 

    

    Параллельные  стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

    Трапеция  называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

    Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

    Свойства трапеции:

1 ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

2 если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

3 если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

4 если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

5 Площадь трапеции:  
a и b — основания; h —расстояние между ними; l — средняя линия 
, S = lh  (3.4)

6 Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

    Признаки трапеции:

    Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

    3.3. ПРЯМОУГОЛЬНИК. ЕГО СВОЙСТВА И  ПРИЗНАКИ

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства  прямоугольника:

1 все свойства параллелограмма;

2 диагонали равны.

3 площадь равна:

S = ab  (3.5)

S = d₁d₂ sin   (3.6)

4 если прямоугольник вписан в окружность, то он является квадратом.

Признаки прямоугольника:

Параллелограмм  является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.

    3.4. РОМБ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Ромбом  называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1 все свойства параллелограмма;

2 диагонали перпендикулярны;

3 диагонали являются биссектрисами его углов.

4 площадь ромба:

S = ah_a  (3.7)

S = a²sin    (3.8)

S = d₁d₂   (3.9)

Признаки ромба:

1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

 

    3.5. КВАДРАТ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

    Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства  квадрата

1 все углы квадрата прямые;

2 диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

        3 площадь квадрата: