Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Учреждение  образования «Брестский государственный университет 
им. А.С. Пушкина» 
 

Кафедра алгебры и геометрии 
 
 

Свойства  многоугольников и их применение в решении задач 
 

Курсовая  работа

студентки 3 курса 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Руководитель

преподаватель кафедры алгебры и геометрии 
 
 

Брест 2007

 

     ВВЕДЕНИЕ

    Многими математическими знаниями люди пользовались уже в глубокой древности –  тысячи лет назад. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям храмов, дворцов и пирамид, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

    Знания  постепенно накапливались и систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур. Так как речь в основном шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» - земля, а «метрео» - измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие». Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название – «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»).

    Древние люди знали, что немаловажное значение имеют такие фигуры как многоугольники. Например, древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

    В данной работе мне предстоит изучить некоторые свойства многоугольников и их особенности при решении задач, а также научиться применять полученные знания на практике.

 

1.1.МНОГОУГОЛЬНИКИ. СВОЙСТВА  МНОГОУГОЛЬНИКОВ

    Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис.1а) ), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым (рис.1б) )

     Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

    Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

    Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят — 3 диагонали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно .

    Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

    Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

    Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

    Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
2. он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;
3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

    Выпуклый  многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

    Выпуклый  многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

    Выпуклый  многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

    Правильный  многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

    Свойства многоугольников:

1 Каждая диагональ выпуклого -угольника, где >3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.

2 Сумма всех углов выпуклого -угольника равна .

Д-во: Теорему докажем методом математической индукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где < , и докажем ее для -угольника.

   Пусть — данный многоугольник. Проведем диагональ этого многоугольника. По теореме3 многоугольник разложен на треугольник   и    выпуклый   -угольник   (рис.5). По предположению индукции . С другой стороны, . Складывая эти равенства и учитывая, что (    — внутренний   луч   угла  )    и   ( — внутренний луч угла ), получаем .При получаем: .

3 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и — биссектрисы углов , и (рис. 150). Так как , то , следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА₂ = О = ... = ОА_п. Треугольник О равнобедренный, поэтому О = О . По второму признаку равенства треугольников , следовательно, О = О . Аналогично

доказывается, что О = О и т. д. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, , А₂, . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника ... нельзя описать более чем одну окружность. ч.т.д.

4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

5 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

6 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

7 Симметрия:

    Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична) , если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

7.1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

7.2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120 ° .

7.3 У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота .

    При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

    При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

    Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром  симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет. 
 

8 Подобие:

    При подобии и  -угольник переходит в -угольник, полуплоскость – в полуплоскость, поэтому   выпуклый n-уголъник переходит   в выпуклый n-уголъник

    Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников и удовлетворяют равенствам:

,  (1)  
где -- коэффициент подия       

,                              (2)

то эти  многоугольники подобны.

8.1 Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

8.2. Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

     2.ТРЕУГОЛЬНИКИ

2.1. СВОЙСТВА  ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

    В геометрии выделяют следующие основные свойства треугольников:

1. Во всяком треугольнике:

• Против равных сторон лежат равные углы;

• Против большей стороны лежит больший угол;
• Против большего угла лежит большая сторона.

2. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

3. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
4. Любой внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
5. Любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
6. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
7. Длина любой стороны треугольника меньше суммы и больше модуля разности длин двух других сторон:

|AC-CB|<AB<AC+CB                                      (2.1)

8. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
9. Два не совпадающих ни с одной из сторон треугольника отрезка, поведённых из двух разных вершин треугольника до противолежащих этим вершинам сторон, пересекаются.
10. Прямая, проходящая через вершину треугольника и пересекающая противолежащую вершине сторону, делит данный треугольник на два треугольника, площади которых соответственно пропорциональны отрезкам, отсекаемым прямой на стороне данного треугольника.
11. Множеством вершин треугольников с одними и теми же основанием ВС и высотой h является множество точек двух прямых, параллельных прямой ВС и проходящих на расстоянии h от нее.
12. Если а, b, с - положительные числа, то треугольник со сторонами а, b, с существует в том и только в том случае, если одновременно выполняются неравенства: