Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G = < x, y | x2=y2=(xy)3>

Основным методом  проверки правильности составления  является присутствие

каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце  один раз.

Из данной таблицы  находим центр группы, сравнивая  строку и столбец одного и

того же элемента, т.е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.

В итоге  получаем следующее множество: Z(G) = {e, a1,c1}.

2.4. Составление таблицы подгрупп, порожденных двумя элементами. 

Подгруппы будем  обозначать по тому же принципу, что  и элементы, т.е. из 2-х

элементов через Ai, из 3-х элементов – Bi и т.д.

Заметим, что  таблица будет симметрична относительно главной диагонали.

Используя таблицу умножений, получим: 
 
 
 
 

A1={e,a1} Z₂

C1={e,a1,c1,c6} Z₄

F1={e,a1,c4,c5,f1,h5} Z₆

H1={e,a1,c1,c3,c6,c8,h2,h7} Z₈

H2={e,a1,c1,c6,h3,h4,h8,h9} Z₈

H3={e,a1,c1,c2,c6,h1,h6,h11} Z₈

L1={e,a1,c1,c4,c5,c6,c7,f1,h5,h10,l1,l2} Z₁₂ 

При нахождении подгрупп удобно будет пользоваться следующими

соображениями:

  1. В нашем  случае, согласно теореме Лагранжа, возможны подгруппы порядков 2, 4, 6, 8, 12 и тривиальные – 1, 24. Поэтому, необязательно для получения подгруппы G искать все 24 элементов, нужно найти всего 13 элементов.

  2. Если  на каком-то шаге мы нашли,  что в нашей подгруппе имеются  элементы x и y, то подгруппа тривиальная. Ведь {x,y} – это минимальная система образующих нашей группы. 

2.5 Структура всех подгрупп.

1. А.В. Клюшин  «Введение в дискретную математику»  МИЭТ, 2004г.

2. А.В. Клюшин  «Курс лекций по дискретной  математике 2009-2010 уч. год.»

3. Кострикин  А.И. «Введение в алгебру», т.1, 3.