Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G = < x, y | x2=y2=(xy)3>

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных  по возрастанию.

1, x, y, x2 ,xy, yx, y2 ,x3 ,x2 y,xyx,xy2 , yx2 , yxy, y2 x, y3 ,...

Имея  задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в  G

лишь  конечное число элементов. Используя  соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это  иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми  элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G). Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице  умножений равна столбцу с  тем же

номером. 
 
 

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением. 

G=< x, y| x² = y²=(xy)³ >, n = 24.

По определению  группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные  соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы. 

xy=yxyx y² =(yxyxxyxy)xy,  yxyxxyxy=e,   x⁸ =y⁸ =e 
 

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов. 

Путем анализа определяющих соотношений  убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие. 

Рассмотрим  каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем  для начала рассматривать слова  длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое  слово будем пытаться свести к  уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x⁸ = e , y⁸ = e , x² = y²=(xy)³.  

Если  нам это удается, то для полученного  “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать  по той же схеме, т.е.

дописываем  буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет  новым элементом группы. 

1. e 
2. x
3. y
4. x²
5. xy= x² yxyx
6. yx= x³ yxy
7. x³
8. x² y =y x² = y³
9. xyx
10. x y² = y² x
11. yxy= x⁵ yx= x³ yx y²
12. x⁴ =x y² x= x² y²
13. x³ y= x y³ =xy x²
14. x² yx= yx y²= y³ x=y x³
15. xyxy=yxyx
16. x⁵ = x³ y²
17. x⁴ y = x² y x²
18. x³ y x=xyx y²
19. x² y xy=yxy x²
20. x⁶ = x⁴ y²
21. x⁵ y = x³ y x² = x⁴ yxy
22. x⁴ yx= x² yx y²
23. x⁷ = x⁵ y²
24. x⁶ y = x⁴ y x²

 

Данным методом  мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

1. e
2. x
3. y
4. x²
5. xy
6. yx
7. x³
8. x² y
9. xyx
10. x y²
11. yxy
12. x⁴
13. x³ y
14. x² yx
15. xyxy
16. x⁵
17. x⁴ y
18. x³ y x
19. x² y xy
20. x⁶
21. x⁵ y

      22. x⁴ yx

      23. x⁷

       24. x⁶ y 

2.2 Определение порядков элементов. 

1. o(e)=1
2. o(x)=8
3. o(y)=8
4. o(x²)=4 x²x²x² x²=e
5. o(xy)=12
6. o(yx)=12  
7. o(x³)=4    
8. o(x² y)=4      
9. o(xyx)=8    
10. o(yxy)=8        
11. o(x⁴)=2
12. o(x³ y)=8
13. o(x² yx)=4
14. o(xyxy)=6 
15. o(yxyx)=4 
16. o(x⁵)=8 
17. o(x⁴ y)=8 
18. o(x³ y x)=8
19. o(x² y xy)=8 
20. o(x⁶)=4
21. o(x⁵ y)=8
22. o(x⁴ yx)=4
23. o(x⁷)=8
24. o(x⁶ y)=4 

 
 
 
 

В соответствие с полученными результатами переобозначим  элементы группы: 

 
 

2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы. 

Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых  соотношениях x⁸ = e , y⁸ = e ,

 x² = y²=(xy)³, а также на ряде производных соотношений.

Применяя  эти рассуждения, получим таблицу  умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения: