Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G = < x, y | x2=y2=(xy)3>

 

   

Московский  Государственный Институт

Электронной Техники 

(Технический Университет) 
 
 

Курсовая  работа 

По дисциплине:

«Дискретная Математика» 

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x²=y²=(xy)³> » 
 
 
 
 
 

Выполнил:  .

Группа: ЭКТ-35

    Проверил: Клюшин А.В. 
 
 

Москва 2009г.

Оглавление. 

Титульный лист…………………………………………………………….1

     Оглавление………………………………………………………………...2

1. Теоретическая часть…………………………………………………...3

1. Понятие группы……………………………………………………3

2. Определение группы. Свойства подгрупп………………………4
3. Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

1. Доказательство того, что в группе n элементов………………..7

2. Оперделения порядка элементов…………………………………9
3. Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение  центра группы………………………………………10

4. . Составление таблицы подгрупп, порожденных

 двумя  элементами………………………………………………………11

5. Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13
6. Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы…………………………………..……..15

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть.

 

1.1. Понятие группы. 

Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется  произвольное отображение G ´ G ® G. Если (g1,g2)ÎG1 ´ G2, то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g1• g2, где (•) — знак

бинарной  операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2) $ eÎG: e•g = g•е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) " gÎG $ g-1ÎG : g• g-1 = g-1• g = e, элемент g-1для элемента g будем

называть  обратным к g.

Если  к условиям 1)-3) добавить условие

4) " g1 , g2 Î G g1•g2 =g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде  всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g ÎG | gh = hg для любого h ÎG }.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа  элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только  один.

Доказательство. Если два элемента g-1

1 и g-1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

g1

-1 = g1

-1 • e= g1

-1 •g • g2

-1 = e • g2

-1= g2

-1

Что и требовалось  доказать.

Каждая  конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления  таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и

столбца hÎG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый  элемент группы встречается ровно  один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой  перестановкой элементов группы. 

1.2. Определение подгруппы.  Свойства подгрупп. 

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е Î H;

2) " h1 , h2 Î H h1 • h2 ÎH;

3) " h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно  задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый  элемент группы встречается ровно  один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать  некоторая

перестановка.

Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g Î G, то множество gH = { gh | h

Î H}

называется  левым смежным  классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое  разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а1,…,аn Î G. Через < а1,…,аn > будем обозначать

наименьшую  подгруппу в G, содержащую элементы а1,…,аn. Если < а1,…,аn >= G,

то  элементы {а1,…,аn} будем называть системой образующих группы G. Систему

{а1,…,аn} будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество  уже не будет являться

системой  образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется  элемент g Î G такой, что <g>=G.