Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G = < x, y | x2=y2=(xy)3>

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g3 = g1h1 = g2h2 для некоторых

h1, h2 ÎH. Но тогда g1 = g2h2h1

-1 Î g2H, а g2=g1h1h2

-1 Îg1H. Отсюда следует, что g1H

= g2Н.

Теперь  покажем, что все левые смежные  классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом

g ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1=gh2, то, умножая равенство слева на g-1, получим h1= h2.

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями  числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g2,..., gk-1, е} образует подгруппу в

G.Следствие доказано. 

1.3 Изучение строения  групп, заданных  образующими и  определяющими

соотношениями. 

Рассмотрим  алфавит из символов х, у, х -1, у -1. Конечную последовательность

символов  будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать zn

вместо {

n

z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е. Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово znzm договоримся

сокращать и записывать как zn+m. Например, х3х-4 = х -1, х2х-2 = е.

На множестве  слов рассмотрим бинарную операцию (·), которую будем на-

зывать  умножением. Если u=z1...zn и v = t1…tm - два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z1...zn t1...tm, в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е·u = u·е = u. Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет  обратное. Действительно, если u =

z1...zn, то u-1 = 1 1

n 1 z- ...z- .

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше  бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у.

Аналогично  можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F - свободная группа с образующими x1...xn. Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение  можно записать в виде u·v-1 =

е. Пусть задана система из k соотношений

                                                                           (1)                                 

Рассмотрим  все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w1,...,

wk Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w1,..., wk, обозначим N. Можно показать, что пересечение

нормальных  подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w1,..., wk. Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы  являются смежные классы по подгруппе  N. Если u - слово, u Î F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

образующими x1...xn и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое"  слово. Если одно слово группы  F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя  соотношения (1), то в группе

G такие  слова равны (точнее, они лежат  в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных  образующими и соотношениями. Поскольку  в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ  входит в неотрицательной степени. Действительно, если , хn = 1 (n > 1), то х

-1 = хn-1.

На множестве  слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных  символов, т.е. будем считать, что  x1 < x2 < ...< xn . В слове

1 k

1 k u = ta ...ta можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t + ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = ta ...ta и 1 m

1 m v = sb ...sb , где i i t ,s Î{ x1...xn }.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m a + ...+a < b + ...+ b . В случае

1 k 1 m a + ...+a = b + ...+ b будем считать, что u < v, если 1 1 t < s или 1 1 t = s , но

1 1 a > b . Если 1 1 t = s и 1 1 a = b , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть