Синтез импульсных систем методом ортогональных проекций

 

 

 

 

где интегралы

 

 

где

 

 

 

 

где   

 

 

 

 

выражения для Вq* приведены в приложении 3.

Минимизация функционала (2.22) осуществляется при ограничениях (2.1), ограничениях на абсолютную устойчивость системы (2.18) и грубость системы (2.2).

 

 

 

 

 

 

Алгоритм синтеза нелинейных импульсных САУ.

Рис. 2.4. – Алгоритм синтеза нелинейных импульсных САУ

 

 

 

 

3. Пример

На рисунке 3.1 приведена структурная схема синтезируемой системы.

Рис.3.2. – Структурная схема синтезируемой системы

Дифференциальное уравнение относительно выходной координаты имеет вид

 

 

Заданы значения параметров системы T2=0,5с, T1=0,165с, k4=240

С учетом численных значений параметров системы дифференциальное уравнение движения принимает вид

 

 

 

Характеристика нелинейного элемента F(x) типа «зона нечувствительности без насыщения» изображена на рисунке 3.2

 

Рис. 3.2. – Характеристика нелинейного элемента

и имеет следующие значения параметров b = 0,4, k= tgα =1,0 , kf = 1,0. Требуется определить положительные значения параметров нелинейной системы k1, k2, k3, таким образом чтобы удовлетворять следующим требованиям 

1. При скачкообразном внешнем воздействии g(t) = 1(t) время переходного процесса в системе должно составлять Tп =1с, а перерегулирование Dm  = 20%
2. Обеспечивалась абсолютная устойчивость и грубость по варьируемым параметрам k1, k2, k3  не менее Δ0 =15%

 

В результате решения задачи на ЭВМ получены следующие значения искомых параметров k1 = 0,0345, k2 = 0,0366, k3  = 0,0023, обеспечивающие в САУ устойчивый переходной процесс, удовлетворяющий требуемым показателям качества. На рисунке 3.3 приведен процесс в системе с синтезированными параметрами, имеющий перерегулирование Dm  = 23% и время переходного процесса Tп =1с.

 

Рис. 3.3. – График переходного процесса системы с синтезированными параметрами

 

Заключение

1. Разработан алгоритм параметрического  синтеза непрерывных нелинейных САУ высокого порядка с произвольным видом нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию при широком спектре входных сигналов по заданным показателям качества переходного режима, при безусловном обеспечении устойчивости и грубости системы по варьируемым параметрам. В основу предлагаемого метода положено обращение прямого вариационного метода анализа - метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина) - на решение задачи синтеза. В вычислительном плане задача синтеза сводится к решению обратной задачи динамики методом нелинейного программирования.

2. Разработанный алгоритм синтеза  распространен на непрерывные  системы высокого порядка, с произвольным  видом кусочно-линейных элементов и различными входными сигналами, содержащие звенья чистого запаздывания. Параметры регулятора, приближенно обеспечивающие заданные показатели качества переходного режима работы САУ определяются нелинейным программированием.

3. Метод ортогональных проекций, метод параметрического синтеза  по заданным показателям качества  переходного режима развит на  импульсные нелинейные системы  высокого порядка с произвольным  видом нелинейных элементов, допускающих  кусочно-линейную аппроксимацию  и входными сигналами общего  вида. Синтезируемые параметры определяются, исходя из условия приближенного  обеспечения требуемых показателей  качества переходного режима, при  безусловном обеспечении устойчивости  и грубости САУ.

4. Получены в общем виде аналитические  выражения для вычисления интегралов  целевых функций ii.ii. 1,2,3. Полученные соотношения справедливы для систем n-го порядка с любыми нелинейными функциями, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию (как однозначными, так и неоднозначными), при процессах на их входах, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Использование этих рекуррентных выражений позволяет свести все вычисления в ходе решения задач по пунктам 1-3 к выполнению простых алгебраических операций единообразных для нелинейных САУ различной сложности и структуры с любыми иелинейностями.

Полная апгебраизация решения задач синтеза непрерывных и импульсных систем обеспечивает сокращение затрат времени по сравнению с решением аналогичных задач методом нелинейного программирования с использованием результатов прямого интегрирования системы дифференциальных уравнений.

 
 
Приложение 1

Вычисление интегралов При решение задачи синтеза непрерывных нелинейных САУ по заданным показателям качества и параметрической оптимизации нелинейных САУ методом ортогональных проекций необходимо вычислять интегралы

Ниже приводится выводы рекуррентных соотношений для вычислений интегралов  

 

 

где дельта функция

 

Таким образом, имеем

 

 

Вычисление интегралов

Рассмотрим вычисление интегралов для однозначной нелинейности F(z) довольно общего вида, при

z0(t)=H*[e-αtcos(βt – φ0)]1(t);

 

Будем предполагать, что колебательность z0(t) такова, что переключение нелинейности F(z) происходит в трех точках: t1, t2, t3, т. е.

Запишем функцию F{H*[e-αtcos(βt – φ0)]1(t)} в виде обобщенной функции (2.10). Так как  , то имеем

 

 

 

 

тогда

 

Используя соотношения               и вычисляя интеграл Bq0 , получаем

 

Используя (2.11), запишем обобщенную производную функции:

 

Вычисляя интеграл получаем .

Рассуждая аналогичным образом, вычисляем остальные интегралы .

Окончательно имеем

 

 

 

 

где

 

Если число переключений нелинейности F(z) равно η, то

 

Вычисление интегралов Aqi.

В результате выкладок, аналогичным вычислениям интегралов Bqj, получим рекуррентные соотношения для вычисления интегралов Aqi при

z0(t)=H*[e-αtcos(βt – φ0)]1(t)

 

 

При    интегралы Aqi будут вычисляться по формуле

 

 

где                      

 

Приложение 2

Вычисление интегралов . Получим рекуррентные соотношения для вычисления этих интегралов.

Вычисление интеграла

Интеграл представим в следующем виде, используя (2.12):

 

 

 

 

Для вычисления интегралов воспользуемся правилами действий над обобщенными функциями.

Тогда можно представить следующим образом:

 

при

 

при

 

при

 

 

 

 

 

Таким образом имеем

 

 

 

 

В (2) выражение представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , сумма членов которой может быть определена по формуле

 

т.е.

 

Тогда рекуррентные соотношения для вычисления интегралов примут вид

 

 

где

 

 

 

 

Вычисление интегралов

 

 

Представим выражение (П.2.6) в следующем виде :

 

Раскрывая интегралы (П.2.8), получаем

 

 

 

Подставляя в выражение (П.2.8) с учетом (П.2.3)

 

 

получаем

 

После упрощения получаем

 

 

 

где

 

 

Вычисление интегралов

 

 

при

 

Принимая во внимание (П.2.4), получаем

 

при

 

при

 

Таким образом имеем

 

 

 

 

Вычисление интегралов

В результате выкладок, аналогичных вычислению интегралов и получим рекуррентные соотношения для вычисления интегралов

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

Вычисление интегралов .

Получим выражение для нелинейности F(z) типа «переменный коэффициент усиления» (см. рис 2.2) при

 

Пусть переключения нелинейной функции происходит в трех точках t1, t2, t3, т.е. η=3. Тогда импульсная нелинейная функция в соответствии с (2.13) будет иметь вид

 

 

Для нелинейности, приведенной на рис. 2.2, и процесса (П.3.1)

 

Вычисляя интеграл получаем

 

Для упрощения выражения (П.3.4), воспользуемся формулой, определяющей сумму членов геометрической прогрессии от до т.е.

 

И раскрывая , представляем и в виде (П.2.10) в результате получаем

 

Определяя первую обобщенную производную (П.3.3) и вычисляя интеграл , получаем .

Рассуждая аналогичным образом, вычисляем остальные интегралы.

Окончательно имеем

 

Вычисление интегралов

 

где   

 

Список использованных источников

1. Андронов А.А. Предельные  циклы Пуанкаре и теория колебаний // Доклады VI съезда русских физиков: Сб.ст. - М., 1928.

2. Неймарк Ю.И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика. 1953.Т. 14., №5.

3. Павлов А.А. Синтез релейных  систем оптимальных по быстродействию.- М.: Наука, 1966.

4. Петров Б.Н., Емельянов  СВ., Уткин В.И. Принцип построения  инвариантных систем автоматического управления с переменной структурой // Докл АНСССР.1964.Т.154. № 6.

5. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. - М.: Энергия,1974.

6. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959.

7. Нелепин Р.А. Динамика непрямого регулирования при учете кулоновского трения в золотнике и сервомоторе и нелинейной характеристики сервомотора типа насыщение // Изв. АНСССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1959. № 1.

8. Нелепин Р.А. Теория некоторых систем непрямого регулирования с несколькими существенными нелинейностями//Автоматика и телемеханика. 1960. № 1.

9. Нелепин Р.А. Об исследовании нелинейных автоматических систем методом сечений пространства параметров // Изв.АНСССР. Техническая кибернетика. 1964. № 6.

10. Нелепин Р.А. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами // Докл. АНСССР. 1965. Т. 161. № 6.

11. Методы исследования  нелинейных систем автоматического  управления / Под ред. Р.А. Нелепина. - М.: Наука, 1975.

12. Геращенко Е.И. Метод  разделения движений и оптимизация  нелинейных систем. . - М.: Наука, 1975.

13. Джури Е.И. Анализ и синтез импульсных систем регулирования. - М.: Физматгиз, 1959.

14. Джури Е.И. Импульсные системы автоматического регулирования. - М.: Физматгиз, 1963.

15. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. - М.: Физматгиз, 1963.

16. Jury E.I. and Pai M.A. Convolution z-transforms methods to certain nonlinear discrete systems // IRE Trans. PGAC. 1963.

17. Jury E.I. A contribution to modified z-transforms theory // J.Franclin Ins. 1960.

18. Математическая теория  оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1969.

19. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. - М.: Наука, 1966.

20. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое  управление. - М.: Наука, 1971.

21. Беллман Р. Динамическое  программирование. - М.: ИЛ, 1960.

22. Беллман Р., Дрейфус  С. Прикладные задачи динамического  программирования. - М.: Наука, 1965.

23. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. - М.: Наука, 1969.

24. Нелинейная оптимизация  систем автоматического управления / Под ред. В.М. Пономарева, - М.: Машиностроение, 1970.

25. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. Ш* 4, 5, 6. 1961. Т. 23. № 11.

26. Крылов Н.М., Боголюбов  Н.Н.Введение в нелинейную механику. Киев. АНССС 1937.

27. Боголюбов Н.Н. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Физматгиз, 1958.

28. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. - М.-Л.: Гостехиздат, 1952.

29. Булгаков Б.В. Колебания. - М.: Гостехиздат, 1954.

30. Гольдфарб Л.С. Метод  исследования нелинейных систем, основанный на принципе гармонического  баланса. Основы автоматического  регулирования. Теория. - М.: Машгиз, 1954.

31. Попов Е.П. Динамика  систем автоматического регулирования. - М.: Гостехиздат, 1954.

32. Попов Е.П. Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. - М.: Физматгиз, 1960.

33. Метод гармонической  линеаризации в проектировании  нелинейных систем автоматического  управления / Под ред. Е.П. Попова и Ю.И.Топчеева. - М.: Машиностроение, 1970.

34. Kuo B.C. The z-transform describing function for non-linear sampled data control systems // Proc. of the IRE. 1960.

35. Попов Е.П. Одно обобщение  асимптотического метода Н.Н. Боголюбова  в теории нелинейных колебаний // Докл. АНСССР. 1953.Т.З. № 2.

36. Попов Е.П. Уточнение  первого приближения при исследовании  автоколебаний нелинейных систем //' Докл. АНСССР. 1954.Т.98. № 3.

37. Топчеев Ю.И. Обобщенный метод гармонической линеаризации. Современные методы проектирования систем автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1967.

38. Вавилов А.А. Частотные  методы расчета нелинейных систем. - Л.: Энергия, 1970.

39. Вавилов А.А. Чувствительность  периодического режима гармонически  линеаризованного уравнения нелинейной системы к высшим гармоникам и малым параметрам // Изв. ЛЭТИ. 1967. Вып.65.

40. Попов Е.П. Прикладная  теория процессов управления  в нелинейных системах. - М.: Наука, 1973.

41. Хлыпало Е.И. Нелинейные системы автоматического регулирования. - Л.: Энергия, 1967.

42. Хлыпало Е.И. Повышение показателей качества процесса управления с помощью нелинейных корректирующих устройств // Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1971.

43. Хлыпало Е.И. Метод гармонической линеаризации // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. - М.: Наука, 1975.

44. Хлыпало Е.И. Расчет и проектирование нелинейных корректирующих устройст в автоматических системах. - Л.: Энергоатомиздат, 1982.