Синтез импульсных систем методом ортогональных проекций

Частотный метод синтеза САУ достаточно широко используется для синтеза непрерывных и импульсных систем. Однако, сложность практической реализации особенно для импульсных систем, получаемых в результате синтеза передаточной функции корректирующих устройств, существенно снижает эффективность этого метода.

Методы исследования непрерывных и дискретных систем, основанные па частотном анализе и оперировании передаточными функциями, преобразовании Лапласа и z-преобразовании, играют значительную роль в теории управления вследствие их простоты и ясной связи с физическими процессами протекающими в системе.

А.В. Башариным [78]- [79] разработан метод синтеза нелинейных систем, в основе которого лежит использование явной схемы алгоритма прямого и инверсного численного интегрирования последовательного типа. Его достоинство заключается в возможности нахождения алгоритмов управления для широкого класса нелинейных систем с развитой топологией. В процессе синтеза выполняются инверсные преобразования уравнений, в результате которых осуществляется многократное дифференцирование переходных характеристик.

В работах Ю.А. Бычкова [80]- [82] рассматриваются задачи анализа и синтеза нелинейных систем аналитически-численным методом. Суть метода заключается в решении системы нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений в виде полиномов Тейлора на интервале, на котором рассчитываемую нелинейную систему можно представить кусочно-степенной моделью. Динамические процессы вычисляются во времени последовательно. В методе используется аппарат обобщенного преобразования Лапласа, позволяющий искать решение в классе обобщенных функций так, что динамическая задача в окрестности точки разложения искомых решений в ряды Тейлора сводится алгебраической, часто вообще к линейной. Наряду с достоинствами метода, сочетающего в себе положительные стороны аналитических и численных методов, существует и ряд существенных недостатков. Так, синтез структуры и параметров регулятора системы осуществляется последовательно на сравнительно малых интервалах времени, что может привести к многообразию форм одного и того же регулятора на все интервале управления, затрудняя его техническую реализацию.

Гибким методом, предназначенным для постановки задачи синтеза многомерных систем на ЭВМ, является использование уравнений состояний, позволяющих осуществить четкую формализацию вычислительных процедур. Исследованию непрерывных и дискретных систем управления методом пространства состояний посвящено значительное число работ [83], [20], [84]- [95].

В монографиях Ю.Т. Ту [88], В. Стрейца [90], Б.С. Куо [91] показано, что данный метод эффективен для синтеза многомерных систем, систем со сложными законами прерывания и с большим числом переменных, когда важно найти путь для систематического и планомерного решения задачи, что связано с значительными трудностями при использовании классических методов.

Так как точные методы синтеза нелинейных САУ неприменимы к сложным нелинейным системам высокого порядка, поэтому для решения задач синтеза оптимальных систем часто используются численные (приближенные) методы, в частности невязок, прогонки, сопряженных уравнений, последовательных приближений и другие[96]- [99].

Общей тенденцией развития численных методов оптимизации является сведение задач оптимизации к задачам нелинейного программирования, решение которых достаточно хорошо разработано.

Такой подход используется и в методе последовательной оптимизации В.М. Пономарева [24], где задача оптимизации управления сводится к задаче нелинейного программирования. Далее эта задача приводится к последовательности задач квадратичного программирования. Однако для этого необходимо выбрать метод определения коэффициентов аппроксимации функционала квадратичной формой, что затрудняет построение единого алгоритма.

В работах П.Д. Крутько [100][101] рассматривается возможность синтеза нелинейных САУ решением обратных задач динамики управляющих систем. В работе И.А. Орурка [102] рассматривается обращение на решение задачи синтеза нелинейных САУ прямого вариационного метода - метода наименьших квадратов. Л.А. Осиповым и И.А. Орурком показана возможность обращения метода Галеркина и метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина) на решение задач нелинейных САУ[103][104]. Параметры системы определяются из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества САУ в переходном режиме работы. По сравнению с классическими методами, данные методы позволяют существенно уменьшить затраты машинного времени.

Приведенный выше обзор работ показывает, что применение точных аналитических методов ограничивается нелинейными системами невысокого порядка, а приближенные методы имеют ряд особенностей и недостатков, ограничивающих их применение для синтеза широкого класса нелинейных САУ высокого порядка.

Учитывая изложенное, разработка универсального машинно-ориентированного метода параметрического синтеза импульсных САУ высокого порядка с несколькими нелинейными элементами.

Целью диссертационной работы является разработка машинно-ориентированного метода параметрического синтеза импульсных САУ высокого порядка с несколькими нелинейными элементами при случайных возмущениях, требующего сравнительно небольших затрат машинного времени и обеспечивающего достаточную точность для практического использования получаемых с его помощью результатов.

 

1.2.   Постановка задач исследования

В диссертации рассматриваются импульсные САУ высоких порядков, содержащие один или несколько нелинейных элементов, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию при скачкообразном внешнем воздействии. Целью работы является разработка метода и алгоритма синтеза по заданным показателям качества нелинейных импульсных САУ.

Для достижения поставленной цели в диссертации рассматриваются следующие задачи.

1. Параметрический синтез  нелинейных импульсных систем  высокого порядка. Определяемые при синтезе параметры оператора управления, должны приближенно обеспечивать в системе требуемые показатели качества переходного режима при безусловном обеспечении устойчивости и грубости по варьируемым параметрам.

2. Решение примера синтеза  нелинейной САУ, разработанным методом.

 

1.3.   Выводы

По материалам раздела могут быть сделаны следующие выводы.

1. Проведен обзор литературы  по синтезу и оптимизации нелинейных  непрерывных и импульсных САУ.

2. На основании проведенного  обзора и анализа методов сформулирована  цель диссертационной работы, которая  заключается в разработке метода  синтеза нелинейных импульсных  САУ.

 

2. Синтез импульсных систем

2.1. Нелинейные импульсные системы

Постановка задачи параметрического синтеза нелинейных импульсных САУ заключается в следующем. Задана структура системы, требуется определить параметры оператора управления из условия приближенного обеспечении заданных показателей качества переходного процесса при безусловном обеспечении абсолютной устойчивости системы.

 

На искомые параметры системы  σк  (k=1,m) наложены ограничения

 

                                                            (2.1)

где - минимальные значения параметров; - максимальные значения параметров.

Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют вид

                                                                           (2.2)

где – заданное значение грубости системы; – вариации параметров, в пределах которых обеспечивается абсолютная устойчивость системы.

Процедура синтеза импульсной САУ с несколькими нелинейными элементами методом ортогональных проекций в основном совпадает с процедурой синтеза САУ с одним нелинейным элементом, поэтому для простоты изложения рассмотрим сначала синтез импульсной системы с одним нелинейным элементом.

Дифференциальное уравнение движения нелинейной импульсной системы, структура которой приведена на рис. 2.1, а, может быть записано следующим образом:

                               

                 

 

где N1(D), M1(D) - полиномы оператора обобщенного дифференцирования D; у*(t)- импульсный сигнал выхода нелинейного элемента; g(t) - внешнее воздействие.

Система, структурная схема которой отображена на рис. 2.1, б описывается дифференциальным уравнением

 

 

  

 

где N1(D), M1(D), N2(D), M2(D) полиномы оператора D; g*(t) - импульсный сигнал внешнего воздействия.

Динамика системы (рис. 2.1, в) будет описываться дифференциальным уравнением вида

 

 

 

 

 

где θ *(t) — импульсный сигнал выходной координаты системы.

 

а)

 

б)

в)

Рис. 2.1 – Структурные схемы нелинейных импульсных систем

 

Как обобщение уравнений (2.3) —(2.5) динамика импульсной САУ с одним кусочно-линейным элементом или таким нелинейным элементом, характеристика которого допускает кусочно-линейную аппроксимацию, может быть описана нелинейным дифференциальным уравнением

 

                                                    (2.6)

 

 

 

где

 

 

 

полиномы оператора обобщенного дифференцирования D с вещественными постоянными коэффициентами степеней , , , , , соответственно; z(t) — координата системы, относительно которой ведется синтез; g(t)=H1(t)—скачкообразное внешнее воздействие;  σк  (k=1,m) - варьируемые (искомые) параметры системы.

Для решения задачи синтеза методом ортогональных проекций в соответствии с заданными показателями качества задаем желаемый переходный процесс в виде

 

амплитуда      ,

где и коэффициенты при старших производных соответственно правой и левой частей уравнения (2.6)

и систему непрерывно дифференцируемых линейно независимых координатных функций в виде

                  (2.8)

 

Подставим z0(t) в уравнение движения системы (2.6) и образуем невязку

Ψ* (σк ,t) = Q(σк ,D)z0(t)+Q*(σк ,D)z0* (t)+ R(σк ,D) F[z0(t)]+R*(σк ,D)

 

      F[z0*(t)]-S(σк ,D)H1(t)-S* (σк ,D)H1* (t).                  (2.9)

 

Нелинейную функцию F[z0(t)] представим в виде обобщенной функции

 

где ti – моменты переключения нелинейности; и – аналитические выражения нелинейной функции соответственно до и после момента переключения ti ;  - аналитическое выражение нелинейной функции в момент времени t = +0; число переключений нелинейной функции, зависящее от характеристики нелинейного элемента F(z) и переходного процесса z(t).

Производная j-го порядка обобщенной функции (10) выражается зависимостью

 

 

где значения нелинейной функции и ее производных до

(j-1)-го порядка включительно в момент времени t=0

 

- значения производных  порядка от и в момент времени t=ti справа и слева соответственно; дельта-функция и ее производные порядка

Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных звеньев позволяет получить в виде обобщенных функций аналитические выражения выходной функции (2.10) нелинейного звена и ее производные (2.11), что существенно упрощает и унифицирует расчеты при синтезе нелинейных САУ различных структур и порядков методом ортогональных проекций.

По аналогии с (2.10) функцию F[z0*(t)] – используя решетчатое представление непрерывного сигнала 

где n-е дискретное значение; задержанная импульсная функция, существующая при t=nT, запишем в виде обобщенной функции (рис. 2.2)

 

 

 

где η —число переключений нелинейной функции F[z0(t)];                        —символ Е здесь означает целую часть числа; ti— моменты переключения нелинейной функции F[z0(t)];

 

n-е дискретное значение аналитического выражения нелинейной функции в момент времени t= +0    ;    n-e дискретные значения аналитических функций F-i ( t) и F+i(t) соответственно до и после момента переключения ti.

Производная j-го порядка обобщенной функции (13) будет выражаться зависимостью

 

 

 

где (t—nT) — производные дельта-функции порядка j (j=1, 2, ...).

Рис. 2.2. – Аппроксимация характеристик нелинейных элементов системы прямолинейными отрезками

После подстановки в (2.9) выражений (2.10), (2.11), (2.13) и (2.14) ортогональность невязки координатным функциям (2.8) приводит к следующей системе алгебраических уравнений:

 

 

 

 

где интегралы Aqi, Bqi, Cqv и Aqi*, Cqv* для процесса (7) вычислены в приложениях 1 и 2. Запишем рекуррентные соотношения для вычисления интегралов B*qj:

  

где =f[F(z),z0*(t),ρq]получены для некоторых нелинейностей в приложении 3.

Так как безусловная ортогональность невязки координатным функциям (2.15) при выполнении ограничений на значения искомых параметров и абсолютную устойчивость синтезируемой системы может не выполняться, то задача синтеза параметров сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией

 

 

 

и ограничением (2.1), грубостью системы (2.2) и ограничением на абсолютную устойчивость системы  

Ввиду сложности ограничений (2.18) при минимизации функционала (2.17) целесообразно использовать методы случайного поиска.

При наличии в нелинейной импульсной системе экстраполятора динамика системы будет описываться дифференциальным уравнением

 

 

 

 

 

 

где -сигнал на выходе экстраполятора исследуемой координаты системы z(t); сигнал на выходе экстраполятора нелинейного элемента.

Для решения задачи синтеза аналогично изложенной выше процедуре задается желаемый переходный процесс z0(t) и образуется невязка, в которой нелинейная функция на выходе экстраполятора (в частности, экстраполятора нулевого порядка) представляется в виде (рис. 2.3)

 

 

 

а производная j-го порядка обобщенной функции (2.20) выражается зависимостью

 

 

 

 

Рис. 2.3. – Аппроксимация характеристик нелинейных элементов системы прямолинейными отрезками

 

 

Для определения параметров системы составляется функционал