Синтез импульсных систем методом ортогональных проекций

 

 
Содержание

Введение4

1. Обзор методов синтеза нелинейных систем автоматического управления. Постановка задач исследования7
1. Методы синтеза нелинейных систем управления7
2. Постановка задачи исследования16
3. Выводы17
2. Нелинейные импульсные системы18
3. Пример31

Заключение33

Приложение 34

Список литературы 47

 

 

 

 

 

Введение

Актуальность темы диссертации. В различных отраслях науки и техники широко применяются нелинейные непрерывные и импульсные системы автоматического управления (САУ), динамика которых описывается нелинейными дифференциальными или разностными уравнениями высокого порядка.

Постоянное повышение требований к техническим и эксплуатационным характеристикам САУ сложными объектами и технологическими процессами приводит к необходимости учета нелинейностей в системах при синтезе законов управления.

В теории нелинейных САУ достигнуты значительные результаты. Здесь в первую очередь следует отметить методы фазового пространства, гармонического баланса, критерии устойчивости, статистическую линеаризацию и многие другие методы, изложенные в трудах А. М. Ляпунова, А.А. Андронова, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, Е.П. Попова, В.А. Бесекерского, Я.З. Цыпкина, В.А. Якубовича, В.В. Солодовникова, А.А. Воронова, Н.Н. Красовского, В.С. Пугачева, Е.И. Джури, Ю.Т. Ту и других ученых.

Существующие традиционные методы синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ зачастую достаточно сложны и имеют ряд особенностей и недостатков, ограничивающих их применение для исследования широкого класса САУ высокого порядка с несколькими нелинейностями по единым алгоритмам.

В настоящее время для синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ широко используются численные методы. Высокоэффективным оказался метод синтеза непрерывных и импульсных систем предложенный И.А. Орурком и Л.А. Осиповым - метод ортогональных проекций, развитый в работах А.Д. Жукова и В.Ф. Шишлакова. В связи с этим одной из важных задач является развитие метода ортогональных проекций для синтеза нелинейных импульсных систем.

 

 

В диссертации решалась следующая задача:

• разработка алгоритма синтеза импульсных систем управления, содержащих различные типы нелинейных элементов, основанного на методе ортогональных проекций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе применялись положения теории автоматического управления, прямые методы решения вариационных задач, аппарат теории обобщенных функций, нелинейное программирование.

Научная новизна. В диссертации новым является то, что вносится в решение задач синтеза импульсных САУ высоких порядков, следующее:

• алгоритм параметрического синтеза импульсных систем по заданным показателям качества переходного режима, позволяющий проводить синтез импульсных систем при случайных возмущениях с нелинейностями произвольного вида, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию.

Практическая ценность. Развитый в работе метод ортогональных проекций для параметрического синтеза нелинейных импульсных САУ по заданным показателям переходного режима является теоретической основой разработанных алгоритмов синтеза САУ. Они могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании алгоритмического обеспечения для автоматизированного проектирования сложных нелинейных САУ.

Положения диссертационной работы, выносимые на защиту:

• развитие метода ортогональных проекции на синтез нелинейных импульсных САУ по заданным показателям качества переходного режима;
• решение задачи синтеза закона управления импульсной нелинейной САУ.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на научной сессии ГУАП в апреле 2015 г.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка использованных источников и приложения.

 

1. Обзор методов синтеза нелинейных систем автоматического управления. Постановка задач исследования

1.1.   Методы синтеза нелинейных систем управления

При проектировании САУ необходимо определить структуру системы и параметры ее звеньев. Эта задача решается применением методов синтеза и оптимизации.

Применение того или иного метода исследования САУ определяется назначением САУ и требованиями к ее функционированию, но в большей степени свойствами объекта управления и сложностью исследуемой системы. Возрастающая сложность решаемых в настоящее время научно-технических задач приводит к качественному изменению систем управления и усложнению математического описания динамики САУ.

Так, задача проектирования сложных систем автоматического управления, содержащих несколько нелинейностей требует трансформации существующих методов синтеза, либо разработки новых методов синтеза таких систем.

Рассмотрим существующие методы синтеза нелинейных систем управления, обеспечивающих заданные показатели качества процессов нелинейных САУ. На основании проведенного обзора, сравнения и анализа методов сформулируем задачи диссертационной работы, направленные на разработку математического аппарата и основанного на нем программного обеспечения для расчета нелинейных и импульсных САУ высоких порядков.

Эффективным методом синтеза нелинейных САУ является метод фазового пространства, основы которого заложены академиком А.А. Андроновым [1]. Метод позволил провести детальное исследование различных типов релейных САУ [2], [3], систем с переменной структурой [4] еще до того, как были разработаны метод динамического программирования и принцип максимума Понтрягина.

Этот метод также может быть распространен на нелинейные импульсные системы [5], описываемые двумя конечностными уравнениями (метод дискретной фазовой плоскости). Дискретная фазовая плоскость является эквивалентом фазовой плоскости, используемой при синтезе непрерывных САУ; по осям координат откладываются значения в дискретные моменты времени.

К методу фазового пространства тесно примыкает метод точечных отображений, изложенный в работе [6] А.А. Андронова и др., который оказался эффективным при исследовании динамики систем с кусочно-линейными характеристиками. Исследование нелинейных САУ с помощью метода точечных отображений позволило решить ряд важных прикладных задач [7], [8].

Методы фазового пространства и точечных отображений позволяет исследовать устойчивость систем, проводить анализ переходных процессов и выбирать структуру и параметры систем управления.

Недостатком данных методов является их практическая ограниченность системами второго порядка. В случае систем более высоких порядков возникает необходимость перехода от фазовой плоскости к многомерным фазовым пространствам, что приводит к значительному усложнению метода и потере наглядности.

В связи с этим Р.А. Нелепиным был разработан метод сечения пространства параметров [9]- [11], а Е.И. Геращенко метод разделения движений [12]. Данные методы позволяют преодолеть трудности, возникающие при применении методов фазового пространства и точечных отображений к синтезу нелинейных САУ высокого порядка.

Идея метода сечения пространства заключается в изучении нелинейной САУ высокого порядка в условиях специально выбираемых сечений пространства ее параметров, для которых исходная система не особым линейным преобразованием переменных приводится к системе, исследование которой осуществляется путем последовательного рассмотрения подсистем низкого порядка. Полученные результаты переносятся на исходную САУ.

Основным недостатком данного метода является то, что поведение нелинейной САУ исследуется только в рассматриваемых сечениях пространства параметров, а движение системы между данными сечениями не анализируется. Этот недостаток можно частично исправить, проведя дополнительно исследование движения на интервалах приближенными методами.

Отмеченные недостатки метода фазовой плоскости, фазового пространства и их дискретных аналогов указывают на их ограниченность системами низких порядков и сложность, а в ряде случаев и невозможность применения к нелинейным системам высокого порядка.

Широкое распространение для синтеза линейных импульсных систем получил метод z-преобразования [13]- [15]. На основе этого метода Е.И. Джури был разработан метод корневых годографов[16]- [17], в котором используется свертка z-преобразований, позволяющая найти решение для дискретных САУ с нелинейностями определенного вида. Указанный метод применяется для исследования импульсных систем со слабо линейными звеньями и позволяет найти выходной сигнал в дискретные моменты времени как функцию входного сигнала.

Большое внимание уделяется методам синтеза оптимальных систем, основанным на принципе максимума Л.С. Понтрягина [18]- [20], методе динамического программирования Р. Беллмана [21]- [23], аналитическом конструировании оптимальных регуляторов A.M. Летова [24], [25]. Ввиду сложности аналитических формулировок данных методов, они, как правило, используются при получении решений для нелинейных систем невысоких порядков.

Сложность и трудоемкость точных методов синтеза нелинейных непрерывных и дискретных САУ привела к распространению в инженерной практике приближенных методов.

К этим методам относится известный метод гармонической линеаризации и близкие к нему метод гармонического баланса, малого параметра и др.[26]- [33]. На основе z-преобразования Б.С.Куо[34] распространил метод гармонического баланса на импульсные системы.

Метод гармонической линеаризации и его дискретный аналог эффективны при исследовании автоколебательных систем и систем, находящихся в режиме вынужденных колебаний. Метод применяется к исследованию САУ с затухающими колебательными процессами [35], хотя в этом случае при расчете могут иметь место существенные погрешности.

Применение метода гармонической линеаризации к анализу и синтезу нелинейных систем основывается на свойстве фильтра линейной части системы; при этом за счет ослабления амплитуды высших гармоник имеется возможность вести расчеты по первой гармонике в нелинейном процессе. Уточнение первого приближения путем построения высших гармоник было рассмотрено в работах [36], [37]. А.А.Вавиловым получены условия применения метода гармонической линеаризации, базирующиеся на оценке чувствительности периодического решения к высшим гармоникам и малым параметрам [38], [39].

В работах Е.П. Попова, Е.И. Хлыпало, И.П. Пальтова и других [32], [40]- [49] рассматривается применение метода гармонической линеаризации к решению задач синтеза параметров законов управления и корректирующих устройств нелинейных систем из условия обеспечения заданных показателей качества переходных процессов. Для этого строятся диаграммы качества переходных процессов, либо используются логарифмические частотные характеристики.

Для синтеза дискретных САУ М.М.Симкиным[50], [51] и Я.З.Цыпкиным[52] предложен вариант метода гармонического баланса, основанный на использовании импульсных частотных характеристик линейной части системы. Однако, метод имеет ограниченное применение почти исключительно для САУ, устойчивых в разомкнутом состоянии [53], [54] и содержащих нелинейные элементы с характеристиками релейного типа [52].

При использовании метода гармонического баланса для дискретных систем существенно повышается его сложность и трудоемкость вследствие необходимости учета квантования по времени [50]. Осложнение вызывает и постоянное смещение начальных точек отсчета на нелинейных статических характеристиках входных и выходных преобразователей, вызванное изменяющимися внешними условиями [54].

Таким образом, метод гармонической линеаризации дает хорошие результаты при рассмотрении режимов авто и вынужденных колебаний и применим к нелинейным системам высокого порядка, однако для затухающих колебательных процессов его применение обосновано не строго, в связи с чем применять его в этих случаях (а тем более для процессов с большим декрементом затухания и монотонных процессов) следует с осторожностью.

Наряду с рассмотренным методом гармонической линеаризации развитие получил так же метод обобщенной линеаризации, применение которого, в отличие от метода гармонической линеаризации не ограничено видом входных функций нелинейных звеньев, таким образом данный метод применим как колебательным, так и к монотонным процессам. Основы данного метода и его применение к синтезу нелинейных систем по заданным динамическим характеристикам изложены в работах [55]- [60].

Применению частотных методов для исследования нелинейных систем посвящен ряд работ [61], [38], [62]- [68]. В.В.Солодовниковым дается обзор частотных методов и обоснование метода ортогональных спектров, рассматриваемого как обобщение классического частотного метода на основе понятия интегральных преобразований и ортогональных функций. Метод ортогональных спектров позволяет получить алгоритмы, удобные для реализации на ЭВМ, исследования линейных и линеаризованных систем. В работах [65], [66] излагаются спектральные методы синтеза и идентификации САУ, предполагающие разложение сигналов и временных динамических характеристик по ортогональным базисам. В работах [67], [68] рассматриваются вопросы формализованного описания топологически сложных САУ.

Как отмечается в монографии В.А.Бесекерского [54], аналитические методы исследования импульсных систем [69], [70] пока еще малоэффективны. Поэтому широкое распространение получили методы синтеза нелинейных импульсных САУ, основанные на рассмотрении линеаризованных систем с учетом влияния квантования по уровню в виде шумов квантования. Работы С.М.Федорова, В.А.Бесекерского и других авторов [71]- [77] посвящены синтезу импульсных систем управления с использованием логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ). Метод заключается в переходе от передаточных функций, записанных в виде преобразования Лапласа к z-преобразованию, а от него с помощью билинейного преобразования к псевдочастоте. Наилучшее приближение ЛАЧХ не скорректированной САУ к желаемой достигается подбором соответствующего корректирующего устройства. Данная методика может быть сформулирована как задача аппроксимации желаемой частотной характеристики разомкнутой импульсной САУ в выбранных частотах по критерию минимума средних квадратов [75].