Шпаргалка по "Высшей математике"

Примером  использования интегрального исчисления в экономике, может служить, понятие излишек производителя(PS- producer surplus).Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой , которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия. Очевидно ,что PS=P*Q*-∫f(Q) dQ.

23. МАТРИЦЫ  И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы. В данной статье они рассматриваться не будут.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны  такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу  обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]» или двойными прямыми линиями "||…||").

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной (к примеру a₁₁ является элементом матрицы А).

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_ij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. 
С = А + В 
c_ij = a_ij + b_ij 
Аналогично определяется разность матриц.

Операция  умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что b_ij = k × a_ij. 
В = k × A 
b_ij = k × a_ij. 
Матрица   - А = (-1) × А   называется противоположной матрице А.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что 
с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk, 
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

24. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ  И ИХ СВОЙСТВА.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны).

Свойства определителей:

1. Определитель  транспонированной матрицы равен  определителю исходной матрицы.
2. Если в определителе какие-либо  две строки (столбца) равны между собой, то такой определитель равен 0.
3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
4. Если поменять в определителе местами какие-либо две строки (столбца), то определитель меняет знак.
5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, то такой определитель равен 0.
6. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменяется.

Миноры, алгебраические дополнения матрицы.

Минором M_ij, соответствующим данному элементу  определителя 3 порядка, называется определитель второго порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Если элементы матрицы отметить точками, то получим правило треугольников:

Алгебраическим  дополнением элемента  определителя 3-го порядка называется его минор, взятый со знаком плюс, если (i+j) - четное число, и со знаком минус, если (i+j) - нечетное число, т.е.

25. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ  УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КРАМЕРА.

Метод Крамера (правило  Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

26. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Система состоит  из уравнений с переменными

Эту систему  можно записать в матричном виде

Если матрица  коэффициентов  невырожденная, то существует обратная ей матрица и система имеет единственное решение

???????

Свойства обратной матрицы

• , где det обозначает определитель.
• (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B.
• (A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T где * ^T обозначает транспонированную матрицу.
• (kA) ^{− 1} = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{- 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.