Шпаргалка по "Высшей математике"

 Каждое  иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной  десятичной дробью

 Определение: Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел: рациональных и иррациональных

 

12. КВАДРАТНЫЙ  ТРЕХЧЛЕН И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.  ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ТЕОРЕМА ВИЕТА.

I. Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax ² + bx + c = a ( x – x ₁ )( x – x ₂ ) , где x1=2a−b+ D x2=2a−b− D , D=b2−4ac   в том случае, если D ? 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax ² + bx + c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ? 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.  

II. Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где, a, b, c - действительные числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a≠1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x² + px + q = 0  равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е.  x₁ + x₂ = – p  и   x₁ x₂ = q

Обратная Теорема Виета. Если числа x₁ и x₂ удовлетворяют соотношениям x₁ + x₂ = – p и x₁ x₂ = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x² + px + q = 0.

Теорема Виета  применяется  для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Рассмотрим систему  уравнений  x+y=5   x y=6        Если допустить, что x и y – корни некоторого приведенного квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем x=3   y=2      и  x=2   y=3  

Итак, коротко о квадратном уравнении: 

 

13. ГРАФИК КВАДРАТНЫХ ТРЕХЧЛЕНОВ

График  квадратичной функции 

График функции при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение  получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. Функция является четной (для любых      ось OY является ее осью симметрии.

При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).

При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].

 

14. ГИПЕРБОЛА,  ЕЕ ГРАФИК.

Гиперболой  ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F₁ и F₂ , называемых  фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок  F₁F₂ = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок  AB = 2 a называется  действительной осью гиперболы, а отрезок  CD = 2 b –  мнимой осью гиперболы. Число  e = c / a ,  e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые   y = ± ( b / a ) x  называются асимптотами гиперболы.   

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка гиперболы, тогда  уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой  y = m x + k  и гиперболы  х ² / a ²  –  у  ² / b ²  = 1 : 

   

k ²  = m ² a ² – b ² .

 

15. ОПРЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ.

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

Общепринятые  обозначения производной функции  y = f(x) в точке x₀:

Заметим, что  последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

 

16. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ  И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции. 

Таблица производных, производные основных элементарных функций (20 шт)

Правила дифференцирования общих функций

(известно как «правило Лейбница»)

 — Правило дифференцирования сложной функции

 

17. ПРОИЗВОДНЫЕ  СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Производная сложной функции:

Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Рассмотрим функцию y = sin x². Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x²; 2) найти значение синуса от полученного значения x². Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = x², а потом найти sin g(x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f(g(x)). В нашем примере  u = g(x) = x², а  y = f(u) = sin u.

Пусть  y = f(g(x)) - сложная функция, причем функция u = g(x) дифференцируема в точке x , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда функция y = f(g(x)) дифференцируема в точке x, причем y =f (g(x)) g (x). Запись f'(g(x)) означает, что производная вычисляется по формуле для  f'(x), но вместо x подставляется g(x).

 

18. ФУНКЦИИ В  ЭКОНОМИКЕ.

Функции находят  широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.