Шпаргалка по "Высшей математике"

   Начальный период

   Вплоть  до VI века до н. э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus  — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.

   Позднее вместо аттической нумерации была принята  алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.

   В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля.

   Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем.

   Однако  главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.

   3. ПАРАДОКСЫ ЗЕНОНА 

   Зено́н  Эле́йский (др.-греч. Ζήνων ὁ Ἐλεάτης) (ок. 490 до н. э. — ок. 430 до н. э.), древнегреческий философ, ученик Парменида. Родился в Элее. Знаменит своими апориями, доказывающими невозможность движения, пространства и множества.

   Удар  по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), наиболее знамениты четыре (см. список апорий). Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики — конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи.

   Апории Зенона

   Современники  упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые  у Аристотеля.

   Ахиллес и черепаха— одна из апорий Зенона.

   Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди на некотором расстоянии от него.

   Допустим, Ахиллес бежит в десять раз  быстрее, чем черепаха, и находится  от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

• Дихотомия (апория)

   Дихотомия — одна из апорий Зенона Элейского, утверждающая логическую невозможность движения.

   Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Эта апория основана на бесконечной делимости пространства и предположении, что для совершения бесконечного количества действий необходимо бесконечное время.

   Из-за того что ситуация сформулирована словесно, а потому допускает различные  толкования, имеются разные объяснения, но математическое объяснение гласит: 
«Так как меньшие отрезки проходятся за меньшее время, то общее время равно сумме сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+…, то есть единице.»

• Стрела

   «Стрела» — одна из апорий Зенона Элейского, утверждающая логическую невозможность движения.

   Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть покоится всегда.

   Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.

   Современные представления рассматривают стрелу в пространстве с введенными скоростными  размерностями и тем самым  решают софизм. В таком пространстве движущийся объект не идентичен неподвижному. Впрочем, с точки зрения современной науки, в этой апории есть доля правды (

• Стадион

   Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А₁, А₂, А₃, А₄ обозначает неподвижные массы, ряд В₁, В₂, В₃, В₄ — массы, движущиеся вправо, а ряд Г₁, Г₂, Г₃, Г₄ — массы, движущиеся влево. Будем теперь рассматривать массы А_i, В_i, Г_i как неделимые. В неделимый момент времени В_i и Г_i проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило бы более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства.

   Рассмотрим  теперь движение неделимых В_i и Г_i друг относительно друга: за два неделимых момента времени В_i пройдёт две неделимые части А_i и одновременно отсчитает четыре неделимые части Г_i, то есть неделимый момент времени окажется делимым.

   Апория  направлена против представления о  мере отрезка как о сумме мер  неделимых.

    4. ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА И ЕЕ ПОСТУЛАТЫ. 

ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

   Эвклид - древнегреческий математик, автор  первых дошедших до нас теоретических  трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

   Евклид  и его «Начала».

     В течение 2 тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Об этом человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Человек исчез, растворился в веках, остался лишь его труд «Начала».

     Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам. Первая книга начинается с 20 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины, прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; и, наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Здесь же формулируются пять геометрических постулатов. Вот первые четыре:

1. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию;
2. Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно;
3. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;
4. Чтобы все прямые углы были равны между собой.

   Все четыре постулата очень просты по содержанию. Евклид постулирует здесь абсолютно естественные, понятные истины. Все хорошо. И … . Следует пятый постулат.

   «Если при пересечении  двух прямых, лежащих  в одной плоскости, третьей, сумма внутренних углов меньше 180⁰, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и, притом, с той стороны, с которой эта сумма меньше 180⁰». 

   5. СИСТЕМА АКСИОМ. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ  ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ.

   Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.

   Исторический  процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к  формированию фундаментальной концепции  аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше. Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определён, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенно ясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в свою очередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процесс бесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.

   Совершенно  аналогична ситуация и с утверждениями  о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все  истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, - на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначается буквой å. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.