Шпаргалка по "Математическому анализу"

60. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного  интеграла.

 Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула: , где F(x)- одна из первообразных функции f(x) на отрезке [a,b]. Эта формула Ньютона-Лейбница. Теорема: Если на отрезке [a,b] задана непрерывной ф-и y=f1(x), y=f2(x), такие что, f2(x)>=f1(x) для любого аргумента х, тогда Sтрапеции, заключенной этими графиками вычисляется по формуле: .

 

61. Методы вычисления определенного  интеграла.

Метод подстановки: Замечание: Пусть ф-я φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], причем φ(α)=а, φ(β)=b и ф-я f(x) непрерывна в каждой точке х, равной φ(t), где t принадлежит интервалу (α,β), тогда        , │ │.  Замечание (интегрирование по частям): Если ф-я u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на отрезке [a,b], то справедлива формула: ,               

 

62. . Несобственные интегралы (1 рода). Несобственный интеграл 1 рода: когда 1 или оба из концов интегрирования удалены в бесконечность. Замечание: если предел, стоящий в правой части существует или конечен называется сходящимся, в противном случае расходящимся.

1) ,    2) ,     3) . Замечание: У несобственных интегралов 1 рода есть геометрический смысл: Значения несобственного интеграла – это площадь бесконечной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией y=f(x) осью Ох и прямой х=а

 

63. Несобственные интегралы от неограниченных функций (2 рода). Несобственным интегралом от ф-и f(x) на полуинтервале [a,b) называется предел от определенного интервала при х→+0,   (4) . Если этот предел существует и конечен, то (4) называется сходящимся, в противном случае расходящимся. Замечание: Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на полуинтервале (a,b] . (5)    . Замечание: Если ф-я f(x) не ограничена во внутренней точки отрезка (а,в) (сЄ(a,b)). С-внутренняя точка, то интеграл от ф-ии f(x) на отрезке (а,в) является несобственным интегралом 2 рода и определяется как сумма интегралов от а до с+с+в. (6) ,   следовательно, является сходяхимся, если сходятся оба интегралов в правой части, т.е. интегралов (4) и (5). Замечание: Если ф-я ограничена и интегрируема на открытом промежутке (а,в), а точка а,в-особые точки(в которых ф-я не ограничена ), то несобственный интеграл 2 рода определяется как:   (7) , где с-произвольная точка (сЄ(a,b)) интервала а,b.  Где в правой части сумма несобственного интеграла на полуинтервалах (a;c] и [c;b)

 

 

64. Дифференциальные уравнения: основные понятия, примеры.

Уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные, наз-ся Диф.Уравнением. Пример: xy`+2y=2xyy`; y``+cosx=x^3(yy`)^2. ДУ делятся на обыкновенные(ур-я, содержащие ф-и одной переменной и их производные) и в частных производных(ур-я, содержащие ф-и нескольких переменных  и их частные производные). Обыкновенным ДУ n-го порядка наз-ся уравнение вида: F(x,y,y`,…,y^n)=0. Порядком ДУ наз-ся порядок старшей производной, входящий в уравнение. Обыкновенным ДУ 1-го порядка с одной неизвестной функцией наз-ся соотношение независимой переменной х, искомой ф-ии у и её производной y`. F(x,y,y`)=0. Решением обыкновенного ДУ наз-ся функция y=f(x) обращающая это уравнение в тождество. Y=f(x)- у выражается через х. Решение обыкновенного ДУ , содержащее произвольную постоянную c(const) , наз-ся общим решением. Решение обыкновенного ДУ в виде неявной ф-ии наз-ся общим интегралом уравнения Ф=(х,у,с)=0. Пример: проверить, является ли ф-я у=сх+с^2 решением ДУ. Xy`-y+(y`)^2=0, x(cx+c^2)-( cx+c^2) + (( cx+c^2)`)^2, cx-cx-c^2+c^2=0, 0=0, следовательно, ф-я у=сх+с^2 является общим решением обыкнов ДУ.

 

65.Неполные дифференциальные  уравнения первого порядка, примеры. ДУ 1 порядка y`=f(x,y) называется неполным , если функция f (x,y) явно зависит либо только от аргумента х, либо только от аргумента у. 1 случай: y`=f(x), dy/dx=f(x), , y=F(x)+c; 2 случай: y`=f(x), dy/dx=f(y), , x=

Пример 1 случай: 2-y`=3x, y`=2-3x, dy/dx=2-3x, , y=2x-3x^2/2+c – общее решение. Пример 2 случай: yy`=4, y`=4/y, dy/dx=4/y, , y^2/2=4x+c. Y^2=8x+c – общий интеграл обыкновенного ДУ.

 

66.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, примеры.

ДУ1 порядка с разд пер называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде: . ДУ  с разд пер следует приобразовать к виду, в котором дифференциал и функция переменной х окажутся в одной части равенства, а  диф-л и ф-я переменной у в другой, затем необходимо проинтегрировать обе части полученного равенства. Пример: xydy-(x+1)dx=0, ,   ,  – общий интеграл.

 

 

 

 

 

67.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры

ДУ 1 порядка называется однородным если оно может быть представлено в виде: y`=g( )

Пример: y`=y/x*ln cos y/x, y`=x+y/x-y, следовательно, y`= . Для решения ОДУ необходимо выполнить замену: z=y/x. y`=z`x+z. Т.о. уравнение принимает вид: z`x+z=g(z),

Пример: y`= , z=y/x , , , y/x= +1 , y= +x – общее решение.

 

68. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры. Диф.ур.1 порядка называется линейным, если оно может быть представлено в виде: y`(штрих)+f(x)y=g(x), где f(x), g(x)-непрерывные функции переменной х. Если функция g(x)=0, то уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным. Решение ЛДУ ищется в виде: у=u(x)*v(x), произведений двух функций, где одна из функции может быть выбрана произвольно, другая же определяется из уравнения. y`=u`(x)v(x)+u(x)v`(x), тогда u`(x)v(x)+u(x)v`(x)+f(x)*u(x)v(x)+g(x)=0, u`(x)v(x)+u(x)v`(x)(v(x)+f(x)v(x))+g(x)=0, 1)v(x)+f(x)*v(x)=0,     2)u`(x)*v(x)+g(x)=0  cледовательно, у=v(x)*u(x)

Пример: y`+ , y=u*v, y`=u`v+uv`, u`v+uv`+ =lnx. 1) v`=-v/x , , ln│v│= - ln│x│, v=1/x, 2) u`1/x=lnx, , u=x^2/2*lnx - x^2/4 +c, y=( x^2/2*lnx - x^2/4 +c)* 1/x , y= – общее решение.

 

69. Линейные дифференциальные  уравнения с постоянными коэффициентами.

линейное диф уравнение второго порядка с постоянными коэф-ми имеет вид: y’’+py’+qy=r(x). Если ф-ия r(x) тождественно равна 0, то соответствующее уравнение наз-ся однородным, в противном случае- неоднородным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70. Числовые ряды, признаки сходимости рядов. Абсолютная сходимость рядов.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. U1+u2+u3+…+…= , числа u1,u2 и т.д. называются членами ряда. n-счетчик, nЄN, -общий или n-нный член ряда. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Частичная сумма , т.е., если предел Sn при n→∞ существует и конечен, то наш ряд будет называться сходящимся. . Если конечного предела в последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд , то предел его общего члена . Если предел общего члена не равен нулю при n→∞, то ряд расходящийся. Достаточный признак сходимости ряда с положительными членами: 1)Признак Даламбера: , тогда при для ответа на вопрос о сходимости ряда требуется дополнительное исследование. 2)Интегральный признак: Если f(x)-неотрицательная и невозрастающая функция при x>1, то ряд сходится или расходится одновременно с интегралом . 3)Признак Коши: Если для ряда с положительными членами существует предел , то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, а при q=1 для ответа на вопрос о сходимости ряда требует дополнительное исследование. Признак сходимости знакочередующихся рядов: Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны: u1-u2+u3-…+( +…, где >0

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, т.е. u1>u2>u3>…+ +…0, и предел модуля его общего члена равен нулю, т.е. , то ряд сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется ряд с0+с1*х+с2*х^2+с3*х^3+…+Cn*х^n+…= , где с0, с1,…,(Сi; i=1,∞) коэффициенты степенного ряда. Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех значений x, при которых степенной ряд сходится. Радиусом сходимости степенного ряда называется число R, такое что, при │х│<R-ряд сходится, │х│>R-ряд расходящийся. Интервалом (-R;R)называется интервалом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам: ;

72. Понятие ряда Тейлора.

Если ф-я f(x) имеет производные любого порядка в окрестности точки х=0, то для ф-ииf(x) может быть  получен ряд Маклорена:

Ряд Маклорена (прих0=0) является частным случаем ряда Тейлора:

73. Понятие о рядах  Фурье.     

Ряд Фурье функции f 

     

Если f четная, то   ряд Фурье       

Если f нечетная, то   ряд Фурье       

Если функция f кусочно-дифференцируема, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74. Комплексные числа.*

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;

2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида

z = (x1 + x2, y1 + y2);

3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число

z = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1);

4) множество комплексных чисел  , отождествляется с множеством действительных чисел R.

75. Полярная система  координат.

   Полярная система координат – система плоских координат образованная       направленным прямым лучом OX, называющимся полярной осью. Чаще всего за полярную ось принимают ось северного направления какого-либо меридиана. Начало координат - точка O - называется полюсом системы.

Положение любой точки в полярной системе определяется двумя координатами: радиусом-вектором r (или полярным расстоянием S) – расстоянием от полюса до точки, и полярным углом b при точке O, образованным осью OX и радиусом вектором точки и отсчитываемым от оси OX по ходу часовой стрелки.

Под полярным углом b в геодезии часто принимают дирекционный угол направления, с помощью которого определяют координаты точек и расстояния между ними.

Переход от прямоугольных координат к полярным и обратно для случая, когда начала обеих систем находятся в одной точке и оси OX у них совпадают, выполняется по формулам прямой геодезической задачи:

 
tgb = Y/X, b = arctg(Y/X) 
 

Эти формулы получаются из решения треугольника OBA по известным соотношениям между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Системы прямоугольных и полярных координат применяются в геодезии для определения положения точек на плоскости.