Шпаргалка по "Математическому анализу"

 

 

 

 

38. Выпуклость функции. Точки  перегиба. Необходимое и достаточное  условие точки перегиба.

 Ф-я y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений х1,х2ЄХ из этого промежутка выполняется неравенство: . Точкой перегиба графика непрерывной ф-ии называется точка, разделяющая интервалы, в которых ф-я выпукла вниз и вверх. Необходимое условие перегиба: Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю, т.е. . Достаточное условие перегиба: Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба ее графика.

 

39. Асимптотой графика ф-ии

y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Вертикальная асимптота. или .

Горизонтальная асимптота: . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика ф-ии y=f(x). Наклонная асимптота. и . Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика ф-тт y=f(x).

40. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.  Дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная относительно ∆х часть в полном приращении функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной. dy=f`(x)*∆x –дифференциал. ∆у≈dy. Приращение независимой переменной равно дифференциалу независимой переменной. dy=f`(x)dx        -эта формула не только обозначение производной, но и обычная дробь с числителем(dy) и знаменателем(dx)

 

Геометрический смысл дифференциала. М(х,у)     х→х+∆х,     ∆ у=NA

∆MBA: ˪ А=90 градусов, угол М=α, ,    MA=∆x, , BA=f`(x)*∆x, BA=dy.

Таким образом, дифференциал функции – есть приращение ординаты в точке на касательной проведенной к графику функции в данной точке с абсциссой х получивший приращение ∆х.

 

41. Функции нескольких  переменных.

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). Z=f(x,Y)

42.  График функции двух  переменных. Линии уровня.

 Графиком ф-ии двух  переменных наз-ся поверхность в трехмерном пространстве. Для построения графика такой ф-ии надо рассматривать функции одной переменной. Z=f(x,y0) z=f(x0,y)- представляющие собой сечение графика z=f(x,y)  плоскостями параллельными Охz и плоскостью параллельной Oyz. Множество всех точек графика функции, имеющих одно и то же значение  и равно С(const) называется линией уровня. Все эти точки лежат в одной плоскости Оху. Число С-называется уровнем.

 

 

 

 

 

 

 

44. Частные производные.

Пусть задана ф-я z=f(x,y), Пусть аргументы получат некоторое приращение (изменение).

Х:∆х =>x+∆x

Y: ∆y =>y+∆y, следовательно, изменяется значение функции, т.е. получает некоторое приращение и ее новое значение функции может быть вычислена по формуле: f(x+∆x;y+∆y), т.е. имея новое и первоначальное значение функции, можно сказать что новая функция это ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x,y) – полное приращение функции в точку (х,у). Если приращение получает только один из аргументов, то могут быть получены частные приращения функции (по х или по у). Сумма частных производных не совпадает с полным приращением функции: ∆z≠∆xZ+∆yZ. Частной производной ф-ии нескольких переменных называется предел отношения частного приращения ф-и к вызвавшему его приращению аргумента. При условии, что это приращение аргемента стремиться к нулю. При нахождении частных производных ф-ии по какой-либо переменной, остальных переменных считается константа.(const)

45. Частные производные  высших порядков. Дифференциал функции двух переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) задана на множестве Д является подмножеством R^2 (Д с R^2) и имеет вней частные производные 1 порядка по переменным х и у. Эти частные производные в свою очередь являются функциями переменных х и у, следовательно, можно поставить задачу нахождения их частных производных. Эти частные производные от функции Z`xи Z`y называются частными производными 2 порядка исходной функции z=f(x,y). Смешанные частные промежутки: )`x=Z``xx, →(Z`x)`y=Z``xy,     →(Z`y)`y=Z``yy, →(Z`y)`x=Z``yx

Смешанные производные совпадают, если функция z=f(x) имеет непрерывные смешанные частные производные.

46. Экстремум функции двух  переменных. Необходимое и достаточное  условие экстремума функции двух переменных.

Пусть задана ф-я f(x,y) определенная . Точка М(х0,у0) принадлежит области(Д). и называется точкой максимума(минимума) ф-ии, если существует окрестность этой точки такая что для всех точек с координатами (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство: f(x0,y0)>=f(x,y); (f(x0,y0)<=f(x,y)), т.е. такое что f(x0,y0)<=f(x,y)

Необходимое условие экстремума ф-ии двух переменных: В точке экстремума дифференциалной ф-ии частные производные равны нулю, т.е. , где (х0,у0)- точки экстремума функции z(x,y). Достаточное условие: пусть ф-я z=f(x,y): 1) определена в некоторой окрестности точки (х0,у0) в которой частные производные 1 порядка этой функции равны нулю. ,

2) имеет в этой точке непрерывные частные производные 2-го порядка со значениями А, В,С.

, тогда, если выражение ∆=АС- , ∆>0 в точке (х0,у0) есть экстремум, при том что А>0 минимум точка, А<0 точка максимум. ∆<0, то в этой точке нет экстремума, если ∆=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

47. Условный экстремум. Сведение  задачи на условный экстремум  функции двух переменных к  задаче отыскания экстремума  функции одной переменной.

Точка (х0,у0) называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворяющих условию g=(x,y)=cвыполняется неравенство: f(x0,y0)>=c–условный максимум, f(x0,y0)<=f(x,y) – условный минимум. Нахождение условного экстремума двух переменных позволяет перейти кзадачи нахождения экстремума функции одной переменной. А) пусть уравнение связи (g(x,y)=c) разрешимо относительно какой либо переменной х или у.  Например: y= (x). Б) в целевую ф-ю подставим полученное выражение, что позволит нам получить ф-ю от 1-го аргумента. Z=f(x,y(x))=g(x). Ее экстемум и будет экстремумом функции двух переменных z=f(x,y). Этот способ можно возможно  реализовать, если уравнение связи допускает разрешение относительно какой-либо переменной. В противном случае можно использовать метод множителей Лагранжа.

48. Условный экстремум. Метод  множителей Лагранжа.

Точка (х0,у0) называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворяющих условию g=(x,y)=cвыполняется неравенство: f(x0,y0)>=c–условный максимум, f(x0,y0)<=f(x,y) – условный минимум. Метод Лагранжа: пусть стоит задача z=f(x,y)g(x,y)=c. Построим новую функцию. .      Теорема: Если точка (х0,у0) является точкой условного экстремума ф-и z(x,y) при условии g(x,y)=c являющейся гладкой кривой, то существует такое значение такое что, точка ( ) являются точкой экстемума функции Логранжа. Для нахождения условного экстремума методом множителей Лагранжа следует: 1) решить систему

2) сравнить значения функции zв полученных точках (наибольшая из них будет соответствовать максимальному, наименьшая-минимальному): (х1,у1)(х2,у2). В случае единственного решения системы один следует воспользоваться определением условного экстремума.

49. Первообразная и неопределенный  интеграл.

Функция F(х) называется первообразной для функции  f(x) на промежутке Х некотором, если для всякого аргуметна х принадлежит Х выполняется равенство: F`(x) = f(x). Если ф-я F(x) является первообразной для ф-ииf(x), то ф-ияF(x+c) также является первообразной для ф-ииf(x), так как (F(x)+c)`=F`(x)+c=F`(x)=f(x) что соответствует определению. Действие нахождения первообразной для функции f(x) называется неопределенным интегрированием этой функции. Неопределенным интерграломфункции называется семейство (множество) всех первообразных этой функции.

50. Свойства неопределенного  интеграла

1) производная неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-ии, т.е.

2)дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3)неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной , т.е.

4)постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5)неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий (если интегралы слагаемых существуют), т.е.        

 

 

 

 

   51. Простейшие интегралы.

 

 

 

 

52. Метод разложения  нахождения интегралов.

Метод разложения состоит в использовании при интегрировании теорем 4 и 5 из параграфа «Свойства неопределённого интеграла».4)постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5)неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий (если интегралы слагаемых существуют), т.е.

53. Метод замены  переменной нахождения интеграла.

В основе метода замены переменных лежит формула: , где x= – дифференцируемая функция от u. . Замечание: Если F(x) является одной из первообразных для ф-ииf(x), то

54. Метод интегрирования по частям нахождения интеграла

Пусть u,v-функции, имеющие непрерывные производные, соответственно u`, v`.  (u*v)=u`v+uv`.  u*v является первообразной для u`v+uv`. Тогда в обозначении интегрального обозначения u`dx=du,v`dx=dv, - формула интегрирования по частям.

Замечание: смотреть основные виды интегрирования по частям. Замечание: при рассмотрении интегралов могут быть рассмотрены различные приемы: например: интергирование по частям и замена; замена и сложение.

55. Интегрирование  простейших рациональных дробей.

Определение:Рациональной дробью называется отношение двух многочлен. Если степень числителя больше степени знаменателя, то такая рациональная дробь называется правильной. Замечание: Так как всякая неправильную дробь можно представить в виде суммы многочленом и правильной дроби, то интеграл исходной дроби сводится к сумме интегралов многочлена и правильной рациональной дроби. Пример: . Случай 1:n=1; .

Случай 2: n=2; 2.1b=0 →↨c=0(a), c≠0(b).     2.2 b≠0

2.1a)

2.1b) , I)│t= = , II)

2.2 в знаменателе необходимо  выделить полный квадрат и  выполнить замену переменной.

№1(2.1a)

№2(2.1b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56.Метод неопределенных  коэффициентов интегрирования рациональных  дробей. Теорема 1)Если подынтегральная ф-я   правильная рациональная дробь, знаменатель которой –многочлен степени n, имеющий n-попарно различных действительных корней х1,х2,….,хn, то существует представление подынтегральной ф-ии в виде: , следовательно, интеграл сводится к сумме табличных интегралов.

Теорема 2) Если ф-я    является правильной рациональной дробью и ее знаменатель раскладывается на множители g(x)=

   раскладывается  в виде: ,  следовательно , интеграл исходной броди сводится к рассмотрению суммы интегралов.

 

57. Понятие интегральной  суммы. Геометрический смысл интегральной  суммы.

 Пусть на замкнутом промежутке, т.е. отрезке [a,b] замкнута функция y=f(x). Разобьём этот отрезок произвольно точками на n частичных промежутков.

И вычислим значение ф-ии в точках : f( ); i= . И вычислим произведение f( )*∆i; i= . И затем просуммируем полученные произведения:  f( )*∆1+ f( )*∆2+…+ f( )*∆n= - эта функция наз-ся интегральной суммой на отрезке f: [a,b] или сумма Римана.

Замечание: Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [a,b] точками и выбора точек . f( )*∆i=Si со сторонами f( ) и ∆i, поэтому интегральная сумма численно равна сумме площадей этих прямоугольников. S=S1+S2+…+Sn.

 

58. Понятие определенного  интеграла. Достаточное условие  существования определенного интеграла.

 Если при существует предел конечный, независящий не от способа разбиения отрезка [a,b], не от выбора точек в каждом из частичных промежутков, то говорят, что ф-я y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], а сам предел называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b],и обозначается: , I- число, а все остальное подынтегральное выражение. Где а-называется нижним пределом, а b-верхним пределом интегрирования. Задача нахождения определенного интеграла наз-ся интегрированием функции на отрезке. Замечание: не смотря на сходство в обозначении и терминологии определенный и неопредел. интегралы существенно различные понятия: в то время как неопредел интеграл представляет семейство ф-и, определенный интеграл, есть число.Теорема(достаточное условие сущ-я определенного интеграла):Если функция непрерывна на отрезке   [a,b],то она интегрируема на отрезке [a,b].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59. основные свойства  опред. Интеграла.

. Величина определенного  интеграла не зависит от обозначения  переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы. II. Определенный интеграл  с одинаковыми пределами интегрирования  равен нулю. III. При перестановке пределов  интегрирования определенный интеграл  меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число  частичных промежутков, то определенный  интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель  можно выносить за знак определенного  интеграла. VI. Определенной интеграл  от алгебраической суммы конечного  числа непрерывных функций равен  такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.