Шпаргалка по "Математическому анализу"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Основные теоремы о пределах.

 

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.  Þ  .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).  Þ  .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной. .  Доказательство. f(x)=с,    докажем, что     . Возьмем  произвольное e>0. В качестве d можно взять любоеположительное число. Тогда при 

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть   и   .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A=  - б.м. при  ,

f(x)-B=  - б.м. при  .

Вычитая эти равенства, получим:

Переходя к пределам в обеих частях равенства при  , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть  ,   ,    .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

 где   - б.м. при .

Сложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где  б.м. при   .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,   .

18. Замечательные пределы.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:Первый замечательный предел: Второй замечательный предел

19. Задача о непрерывном  начислении процентов.

х-         первоначальная сумма, L- процентная ставка.

1

2 

n 

        -  формула простых процентов.

2) Пусть х- первоначальная сумма, L- процентная ставка за период (годовая)

1.

2.

n    - формула сложных процентов

3) Пусть R-раз начисляются %=> (%)

1 год  1.

            2.

            R.

2 год   R+1 

             2R  

m- ый год mR  

R=2;3;4;…..12;…365.

= = x =x* – формула непрерывных процентов.

20. Непрерывность функции  в точке.

Фу-я f(x) называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ии, т.е. Пример (следствие):

21. Точки разрыва графика  функции.

. Точка называется точкой разрыва ф-ии если ф-я в этой точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: 1 рода- когда существуют конечные односторонние пределы ф-и слева и справа в (.) не равные друг другу. 2 рода – когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа стремится к или не существует. Ф-я у=f(x) называется непрерывной в точке а справа если =f(a). Ф-я у=f(x)  называется непрерывной в точке слева если =f(в).

 

 

 

 

22. Свойства функции, непрерывной  в точке.

1.Если ф-и f(x) и g(x) непрерывны в точке то:а) f(x) + g(x); б) f(x) * g(x); в) f(x) /g(x), g( ) ¹ 0 2.Св-ва постоянства знаков. Если ф-я f(x) непрерывна в (.)   и f( ¹ 0, то существует окрестность (.) , во всех точках которой f(x) имеет тот же знак что и f( . 3.Если ф-я y=f(u) непрерывна в (.) , а ф-я  u=g(x) непрерывна в точке , то сложная ф-я у=f(g(x)) непрерывна в точке .

23. Свойства функции, непрерывной  на отрезке.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева. Свойство 1: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке   выполняется условие -  .Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке  , приним ает на нем наибольшее и наименьшее значения. Свойство 3: Если функция   - непрерывная на отрезке   и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где  . Свойство4: Если функция   является непрерывной на отрезке   и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть  ,  , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между   и   .Свойство5:  Если ф-я непрерывна на отрезке, то множество значений ф-ии также является отрезком. Свойство6:  Пусть даны две непрерывные ф-ии: у=g(t), отображающая множество Т на множество У; t=f(x), отображающая множество х на множество Т. Тогда сложная ф-я у= g(f(x)) непрерывна на множестве У и отображает на множество У. Свойство7: Пусть ф-я f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , тогда обратная ф-я g(x) также напрерывна и возрастает (убывает) на отрезке [f(a);f(b)]. Своство 8:  Любая элементарная ф-я непрерывна в любой точке, принадлежащей области определения ф-ии. Поскольку любая другая элементарная ф-я получается из этих ф-ий с помощью операций сохраняющих непрерывность, то она также является непрерывной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Производная функции  в точке. Геометрический смысл производной.

Производной функции f(x) в точке   называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  . Обозначается  . Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0; f(x0).

25. Уравнение касательной  к графику функции.

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечнуюпроизводную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)),имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производнуюy = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26. Односторонние производные. - обобщение понятия производной, в к-рой обычный предел заменяется односторонним пределом. Если для функции f(x)действительного переменного существует то этот предел наз. правой (левой) производной функции f(x) в точке х 0 . В случае равенства этих О. п. функция имеет в точке х 0 обычную производную. Выражение называется производной справа функции f(x) в точке x. Аналогично, выражение

называется производной слева в этой же точке.         

Если  , то в точке x существует  ; если же  , то в точке x производной   не существует и график функции имеет излом; в этой точке имеется две касательных  в которой односторонние производные не равны друг другу.

27. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

 Если функция y=¦(x) дифференцируема в точке  , то она непрерывна в точке   . Доказательство. Пусть функция    дифференцируема в точке  . По определению производной функции в точке запише .Тогда на основании определения предела функции в точке имеем  , где a(Dx) - бесконечно малая величина при Dх®0. Очевидно, что приращение  Dy может быть представлено в виде .Откуда следует

.Последнее равенство означает  непрерывность функции в точке   .Обратное верно не всегда. Т.е. функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в точке.

28. Правила дифференцирования. 

К основным правилам дифференцирования относят:вынесение постоянного множителя за знак производной.  производная суммы, производная разности. производная произведения функций. производная частного двух функций (производная дроби)

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29. Производные основных  элементарных функций.

 

ФУНКЦИЯ	ПРОИЗВОДНАЯ
С	0
x	1
x2	2x
xn	nxn-1
ex	ex
ax	ax lna
ln x	1/x
logax	1/(x lna)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2 x
ctg x	- 1/sin2 x
arctg x	1/(1 + x2)

 

30. Производные высших  порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,f"(x) = (f'(x))'. Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак, f(n)(x) = (f(n-1)(x))',   n ϵ N,   f(0)(x) = f(x). Число n называется порядком производной. Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-г порядка этой же функции

31. Теорема Ферма.

  Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем  f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx  откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений  вытекает, что f'(c)=0.

32. Теорема Ролля.

если функция f (х) непрерывна на отрезке а £ х £ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает равные значения f (a) = f (b), то её производная f'(x) по меньшей мере один раз обратится в нуль в интервале (a, b), т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’(с) = 0.

33. Теорема Лагранжа.

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

 

 

 

 

 

34. правило Лопиталя.

 Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность .Формулировка правила Лопиталя cледующая:

Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то

35. Возрастание и убывание  функции. Достаточное условие возрастания  функции. Достаточное условие убывания  функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  .. Достаточный признак возрастания (убывания) функции. 1.Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

36. Экстремум функции. Необходимое  условие экстремума. Первое достаточное  условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума.

 максимум и  минимум фу-и объединяются общим  названием экстремума фу-и.  необ  усл экстр: для тогьт чтобы  ф-я у=ф(х) имела экстремум в  точке х0 принадл D(f), необх, чтобы ее производная в этой точке равнялась 0. Ф штрх (х)=0 или не существовала.  1-е дост.услов экстр: если ф-я у=ф(х) непрерывна в точке х0 и при переходе через точку х0 произ ф-и меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума ф-и у=ф(х), а если с минуса на плюс-то точка минимума. 2-е дост усл: если первая производная ф штр(х) дважды дифференцируемой ф-и равна 0 в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке ф 2штр(х0) полож-на, то хо есть точка миним ф-и ф(х), если ф 2штр(х0) отриц то х0 точка максимума.

37. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках. Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]: Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.