Шпаргалка по "Математическому анализу"

1. Понятие множества. Операции  над множествами. Определение окрестности  точки.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). 
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. 
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. 
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Определение окрестности точки

Пусть   произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки   на числовой прямой (иногда говорят  -окрестностью) называется множество точек, удаленных от   не более чем на  , то есть  .В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый  -шар с центром в точке  .В банаховом пространстве   окрестностью с центром в точке   называют множество  .

2. Понятие функции. Область  определения и область значений  функции. Способы задания функции.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут  , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

Область определения и область значения Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. : Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

3. Основные свойства функции.

1) Область определения  функции и область значений  функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y=f(x) определена. 
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства  функции.Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная  функции.Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции.Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Классификация функций.

1. Целая рациональная функция.  .
2. Дробно-рациональная функция.  .
3. Степенная функция.  , где   - действительной число.
4. Показательная функция.  , где  и  .
5. Логарифмическая функция.  , где  и  .
6. Тригонометрические функции.  ,  ,  ,  .
7. Обратные тригонометрические функции.  ,  ,  ,  .
8. Сложная функция.  , где  .
9. Гармонические колебания.  , где A и   - положительные постоянные.
10. Обратная функция.   для функции  .

5. Обратная функция.

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x)

6. Степенная функция. Радикал.

функция  , где   (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида  , где k — некоторый масштабный множитель.[2] Существует также комплексноеобобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Показательная и логарифмическая  функции. 

математическая функция  , где   называется основанием степени, а   —показателем степени.

Пусть   — неотрицательное вещественное число,   — рациональное число:  . Тогда   определяется по следующим правилам.

• Если  , то  .
• Если   и  , то  .
• Значение   не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
• Если   и  , то  .
• Значение   при   не определено.

Для произвольного вещественного показателя   значение   можно определить как предел последовательности  , где   — рациональные числа, сходящиеся к  . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

 

 

Логарифмическая функция.

функция, обратная показательной функции.

Чтобы получить формулу логарифмической функции, напишем формулу показательной функции  , выразим х через у и поменяем обозначения переменных:

В этой формуле число а - то самое, которое является основанием показательной функции. То есть а обязательно положительное число, не равное единице.

Теперь можно дать и другое определение: Логарифмической функцией называется функция, которую можно задать формулой   , где а - положительное число, не равное единице.

8. Тригонометрические функции.

элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:прямые тригонометрические функции: синус ( ), косинус ( )

производные тригонометрические функции: тангенс ( ), котангенс ()

 

 

 

 

 

 

 

9. Обратные тригонометрические  функции.

.    Обратные тригонометрические ф-ии — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.  у=arcsinx, о.о.[-1,1], о.з.[-п/2; п/2]: неч, непериод, возрас на всей облас опред… у=arcosx, о.о.[-1,1], о.з.[0, п], общ вида, непериод, убывает на всей области опред,                                                     у=arctg x, о.о.(-б,+б), о.з.(-п/2;п/2): неч, непериод, возр на всей обл опред.  Y=arcctgx, о.о.(-б,+б), о.з.(0;п): общ вида, непер, убыв на всей обл опред.

11. Предел числовой последовательности. Геометрический смысл предела числовой последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности {an} , если для любого сколь угодно малого  числа Е (эпсилон), существует такой номер N, что доя всякого номера n>N выполняется неравенство |an-A|<E и обозначается .  Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в том, что существует такой номер N=N(E) начиная с которого все остальные (бесчисленое множество) члены последовательности будут заключены в эпсилон окрестности точки А ( вне этой окрестности будут находится лишь конечное число членов этой последовательности).

12. Предел функции в  бесконечности.

Число А называется пределом фу-ии на бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е существует такое положительное число S, что для всех аргументов по модулю числа S выполняется неравенство: F(x)-a<E  Смысл состоит в том, что при достаточно больших по абсолютной величене значениях аргумента соответствующие им значения функции мало отличается от числа А по абсолютной величине.

13. Предел функции в точке.

Смысл определения предела ф-ии в точке а состоит в том, что для всех значений х, близких к а, соответствующие значения ф-ии f(x) мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Замечание: Определение предела не требует существования ф-ии в самой точке а, ибо рассматривает х≠а, из окрестности точки а, т.е. мы предполагаем, что х стремится к а, но не достигает а. Поэтому наличие или отсутствие предела в точке а определяется поведением ф-ии в окрестности точки а, но не связано со значением фу-ии (или его отсутствие) в самой точке а. Замечание: Если при стремлении х к а переменная х принимает значения больше а, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f(x), соответственно, слева и справа. Замечание: Если односторонние пределы в точке а совпадают, то в точке а существует предел и его значение совпадает с односторонним, т.е. если и   , то Ǝ . В противном случае: , то не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Бесконечно малые величины. Свойства бесконечно малых величин.

Последовательность   называется бесконечно малой, если :  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окресности точки  , если  .

Свойства бесконечно малых

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

15. Бесконечно большие  величины. Свойства бесконечно больших величин.

Переменная величина xn называется бесконечно большой, если для всякого наперед заданного числаM > 0 можно указать такое натуральное N, что для всех номеров n, больших N, выполняется неравенство |xn | > M. Короче: переменная величина xn называется бесконечно большой, если, начиная с некоторого номера, она становится и остается при всех последующих номерах по абсолютной величине больше любого наперед заданного положительного числа M. Если xn есть величина бесконечно большая, то это записывается так: lim xn =  , или xn  .

 

16. Связь между бесконечно  малыми и бесконечно большими  величинами.

 

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой устанавливается следующей теоремой. Теорема. Пусть   (значения   при любом  ). Если   – бесконечно малая при  , то обратная ей величина   – бесконечно большая при  ; если   – бесконечно большая, то   – бесконечно малая при  .Иногда бесконечно малую величину будем условно обозначать символом 0, а бесконечно большую – символом  .