Шпаргалка по "Математическому анализу"

Признаки  существования экстремума

*Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней .

*Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие . Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: . Тогда возможны следующие варианты.

а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если , то в точке x0 – локальный максимум, а если , то в точке x0 – локальный минимум.

б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба). 

Выпуклость  и вогнутость линий точки перегиба

*Линия называется  выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

*Линия наз-ся  вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

*Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

*Необходимый  признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

*Достаточный  признак: если f``(x) всюду в интервале  “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

*Признаки точки  перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0. 

Геометрический  смысл дифференциала

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом  ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx

*Св-ва: 
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2. 

Инвариантная  форма дифференциала

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала  dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.ъ

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если  х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной. 

Формула Тейлора.

1.Многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв.

Пример:

2.Остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:

*Если функция F(x) (n+1) – дефферен. в окресности точки x0, то для любого x из этой окресн. сущ. т. с(x0, x)

 

Геометрический смысл частных производных

*(допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

 В   пространстве   XYZ   условие   y = y0   описывает   плоскость   P,

перпендикулярную  оси OY и пересекающую эту  ось  в  точке  y0.  Плоскость  P

пересекается  с графиком функции z = f(x,y), вдоль  некоторой  линии  L,  как

показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью  XOY  и касательной к

линии L в точке  с координатами x0,y0 равен частной  производной по x  функции

z = f(x,y) в  этой  точке.  В  этом  состоит   геометрический  смысл  частной

производной.

      Аналогичное заключение можно  сделать относительно частной производной

по y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти: 
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва  и интервалы, где ф-ция явл-ся  непрерывной

-поведение  ф-ции в окрестностях точки  разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения  графика с осями координат

-симметрия  графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы  монотонности

-точки экстремума

-наибольшее  и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение  ф-ции в безконечности, наклонная    и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график. 

Производные

(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)

(c*u(x))=c*u'(x)

(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)

(u(x)/v(x))'=(u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x))/v²(x)

u(v(x))'=u'v+v'x

(xa)'=a*xa-1

(sin(x))'=cos(x)

(cos(x))'=-sin(x)

(tg(x))'=1/cos2(α)   

(ctg(x))'=-1/sin2(α)

(e^x)'= e^x

(ln(x))'=1/x

(loga(x) )'=1/xln(a)

(arcsin(x))'=1/√(1-x2)

(arccos(x))'=-1/√(1-x2)

(arctg(x))'=1/(1+x2)

(a ^x)'=a^xln(a) 

    касательная                                                   

y-y0=y`( x0)(x- x0) 

    нормаль 

y-y0=(-1/y`( x0))*(x- x0) 

      

Логарифмы

y=ax, x=loga(y) 

y=aloga(y) 

logb(a1a2)= logb(a1)+logb(a2)

logb(a1/a2)= logb(a1)-logb(a2) 

logb(ak)=k logb(a) 

logb(a)=logc(a)/logc(b)

(n+1)!=n!(n+1)

n!=1*2*3*4*…*n

Ckn=n!/(n-k)!*k! 

Лимиты

[c/∞]=0 [c/0]= ∞ [0/∞]=0 [∞/0]= ∞

первый  замечательный предел

lim[(sin(x))/x] (при  х→0)=1   lim[(arcsin(x))/x] (при х→0)=1 

lim[(1-cos(x))/x2] (при  х→0)=1/2  lim[(tg(x))/x] (при х→0)=1

lim[(arctg(x))/x] (при х→0)=1 

lim[1/f(x)]=1/lim f(x)

lim[(x/sin(x))] (при  х→0)=1 

(1+x)1/x (при х→0)=e=2.718 

второй замечательный предел         

lim

lim[(ln(1+x)/x] (при  х→0)=1    lim[(loga(1+x)/x] (при х→0)=1/ln(a) 

lim[(ex-1)/x] (при х→0)=1        lim[((1+x)a-1)/x] (при х→0)=a 

lim[(ax-1)/x] (при х→0)=ln(a) 

lim [f(x) g(x)] (при х→х0)=lim f(x) (при х→х0) lim g(x) (при х→х0)

 х

1.sin x~ x       tg x ~ x

arcsin x ~ x    arctg x ~x

(1- cos x)~ x    e^x-1 ~x

a^x-1 ~xlna     ln(1+x)~x

log (1+x)~ xlog e

(1+x) -1~kx, k>0 

Тригонометрия

cos2(α)+sin2(α)=1

cos(α-β)= cos(α) cos(β)+sin(α)sin(β)             

cos(α+β)= cos(α) cos(β)-sin(α)sin(β)             

sin(α+β)=sin(α) cos(β)+cos(α)sin(β)             

sin(α-β)=sin(α) cos(β)-cos(α)sin(β)               

tg(α+β)=(tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β))              

tg(α-β)=(tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β))

cos(π/2-α)=sin(α)

sin(π/2-α)=cos(α) 

cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)                                 

cos(2α)= 1-2 sin2(α)

cos(2α)=2cos2(α)-1  

sin(2α)=2cos(α)sin(α)  

tg(2α)=2tg(α)/(1-tg2(α))  

sin2(α)=(1-cos(2α))/2

cos2(α)=(1+ cos(2α))/2 

tg2(α)=(1-cos(2α))/(1+ cos(2α)) 

sin(α)=2tg(α/2)/(1+tg2(α/2)) 

cos(α)= (1-tg2(α/2))/ (1+ tg2(α/2)) 

sin(α)sin(β)=(1/2)(cos(α-β)-cos(α+β)) 

cos(α)cos(β)=(1/2)(cos(α-β)+cos(α+β)) 

sin(α)cos(β)=(1/2)(sin(α+β)+cos(α-β)) 

sin(α)-sin(β)=2sin((α-β)/2)cos((α+β)/2) 

sin(α)+sin(β)=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) 

cos(α)+cos(β)=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) 

cos(α)-cos(β)=2sin((α+β)/2)sin((β- α )/2) 

tg2(α)+1=1/cos2(α) 

1+ctg2(α)=1/sin2(α)     

2sin2(α)=1- cos2(α) 

sin2(α)=(1- cos2(α))/2                                       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Асимптоты.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a.

Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :