Шпаргалка по "Математическому анализу"

Числовые  множества: ограниченность, супремум, инфимум

1.Множество {x}, элементами которого являются числа, называется  числовым множеством.

2. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным  сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что   x £ M  (   x ³ m).

  Число M называется  верхней гранью числового множества  {x}. Аналогично, число  m называется  нижней гранью числового множества  {x}.

  Верхних  (нижних) граней бесконечно много,  так как любое число, большее  M (меньшее m), есть также верхняя  (нижняя) грань.

3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x}  (обозначение sup{x}).

4. Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x}  (обозначение inf{x}).

  Более точно,  эти понятия выражаются следующими  свойствами:

 Супремум  sup{x} , .

Инфимум  inf{x} , .

 Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

  Если числовое  множество {x} не пусто и ограничено  сверху, то у него существует sup{x}.

  Если числовое  множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}. 

Предел  последовательности и предел функции

1.Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

 Обратите  внимание на два момента.

  *В последовательности  бесконечно много чисел. Если  чисел конечное число – это  не последовательность!

  *Все числа  упорядочены, то есть расположены  в определенном порядке.

2. Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Подчеркнем, что N зависит от e.

 Варианты определения.

 Говорят,  что  , если .

 Говорят, что , если .

3.Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a      ,  

Односторонние пределы

1.Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если

( ).

Обозначение ( ).

Если, то существует . Верно и обратное утверждение.

2.Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы  существовал  необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn}, у которой существовал

  Свойства  предельных значений.

  Предельные  значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

,

,

,

, если  . 

Бесконечно  малые и бесконечно большие

1.Функция f(x) называется бесконечно малой при x®a, если.

* Если существует и , ¸ то говорят, что a(x) и b(x) – бесконечно малые одного порядка. 

* Если (или, что то же самое, ), то говорят, что a(x) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x).

Обозначение a=o(b).

* Если не существует, то говорят, что a(x) и b(x) несравнимы.

Имеется стандартная  бесконечно малая величина b(x)=x – a. Тогда, если существует ,

то говорят, что a(x) является бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так

.

Слагаемое называется главной частью a(x).

2.Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при x®a, если .

* Если существует и , ¸ то говорят, что A(x) и B(x) – бесконечно большие одного порядка.

* Если (или, что то же самое, ), то говорят, что A(x) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B(x).

* Если не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.

Имеется стандартная  бесконечно большая величина . Тогда, если существует и , ¸ то говорят, что A(x)

есть бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом: . 

Возрастающие  и убывающие функции

1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было ( ). 
 
 

-

Непрерывность

1.Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Более подробно это расшифровывается следующим  образом:

* .

* . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

*Обозначим (приращение аргумента) и (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при   также и , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

2.Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества. 

Производная.

1.Пусть функция f(x) непрерывна в точке x. Тогда производной от этой функции в точке x, называется предел (разумеется, если он существует)

где - приращение функции.

*Геометрический смысл производной состоит в том, что численно она равна тангенсу угла между касательной, проведенной к кривой в точке x, и осью абсцисс OX

 

Дифференциал

1.Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение может быть представлено в виде

.

Линейная часть приращения функции, то есть слагаемое называется дифференциалом функции в точке х и обозначается так: .

*Для того, чтобы  функция f(x) была дифференцируемой  в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную  в этой точке. При этом  , и .

Геометрический  смысл дифференциала изображен  на рис. 3.5. Заметьте, что производная  есть отношение дифференциала функции  к дифференциалу независимой  переменной:

.

 
 

Выпуклость. 

1. Функция f(x) называется выпуклой  на отрезке [a, b], если выполнено условие

.

 Его отличительной  особенностью является то, что  график выпуклой функции лежит под хордой, соединяющей две любые ее точки.

2. Функция f(x) называется вогнутой  на отрезке [a, b], если выполнено условие

.

 Его отличительной  особенностью является то, что  график вогнутой функции лежит  над хордой, соединяющей две любые  ее точки.(выпуклость, вогнутость :-) )

 

Экстремум

1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было ( ).

*Говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум) если

    такое, что  .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Частные производные

1.рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x0,y0)

Dz=f(x0+Dx, y0+Dy)-f(x0,y0) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x0+Dx, y)-f(x0, y0)

DyZ=f(y0+Dy, x)-f(x0, y0)

Частная производная  ф-ция: 

*Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти  полный дифференциал ф-ции надо найти  частные производные от этой ф-ции  по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить. 

Теорема о вложенных отрезках.(Лемма о вложенных отрезках)

1.Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.

2.Система замкнутых отрезков называется стягивающщей, если

* , т.е. каждый последующий отрезок расположен внутри предыдущего;

* , т.е. длины отрезков стремятся к нулю.

*Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство.

1. Рассмотрим  множество  левых концов наших отрезков. Очевидно, что

а)

б)

Поэтому, существует конечный .

2. Рассмотрим  множество  правых концов наших отрезков. Очевидно, что

а)

б)

поэтому существует конечный .

3. Так как  по условию  , то

.

Обозначим этот общий предел через c:

.

4. Так как  а , то очевидно что , т.е. точка ; (она принадлежит всем отрезкам сразу).

5. Докажем, что  точка c единственная. Предположим  противное, что  точка , такая что . Но тогда было бы, что что противоречит тому, что . 

Теоре́ма  Вейерштра́сса (Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства)

*Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство

Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой:

Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an.

Разделим его  пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число  членов последовательности, то выберем  один из них.

Продолжим деление  отрезков по индукции.

Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно имеет одну общую точку.