Шпаргалка по "Математическому анализу"

Далее построим подпоследовательность, что бы k-й  элемент содержался в отрезке  определённом на k-ом шаге. Так как  в любом таком отрезке содержится бесконечное число an это возможно.

Полученная подпоследовательность  имеет предел. 

Основные  теоремы о пределах

*Функция не может иметь более одного предела.

*Пусть заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке пределы соответственно и . Тогда функции

, и (при )

имеют в точке а пределы, равные соответственно:

, и . 
 

Признаки  существования предела  последовательности

*Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

*Если в некоторой  окрестности точки x0 (или при  достаточно больших значениях  x) функция f(x) заключена между  двумя функциями j(x) и y(x), имеющими одинаковый предел A при (или ), то функция f(x) имеет тот же пр. 
 

Сравнение б.м. и б.б. функций

Две б.м. функций  сравниваються между собой с  помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило  сравнения б.м. функций:

*Пусть при  х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/ (х){при х®х0}=А¹0, то a(х) – б.м. n-го порядка относительно b(х)

Замечания: Для  сравнения б.м. функций, при х®∞, х®+\-∞, х®х0+\-. Существует аналогичное правило. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Замечательные пределы 

*1-й замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB  через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все  на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

*2-й замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя  положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

 

Теоремы о функциях, непрерывных  на отрезке.

Рассмотрим некоторые  свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без  доказательства.

Функцию  называют непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной точке этого отрезка  принимает наибольшее значение и  хотя бы в одной – наименьшее.

*Теорема утверждает, что если функция   непрерывна на отрезке [a,b], то найдётся хотя бы одна точка  такая, что значение функции  в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: . Аналогично найдётся такая точка , в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: .

Ясно, что таких  точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что  функция   принимает наименьшее значение в двух точках  и .

Замечание. Утверждение  теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a,b). Действительно, если рассмотреть функцию  на (0,2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема  перестаёт быть верной для разрывных  функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция  непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть  функция   непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a,b] найдётся по крайней мере одна точка , в которой функция обращается в ноль: , где a < C< b

Эта теорема  имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной  функции , соответствующие концам отрезка [a,b] лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема  допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема  о промежуточных значениях). Пусть  функция   непрерывна на отрезке [a,b] и , . Тогда для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся внутри этого отрезка такая точка , что .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции  . Пусть , . Тогда любая прямая , где С – любое число, заключённое между А и В, пересечёт график функции по крайней мере в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением , при котором .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности,

Следствие. Если функция   непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями. 

Классификация точек разрыва.

Разрывы  функции

1.Точки, где функция f(x) не является непрерывной,  называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации  точек разрыва рассмотрим предел слева  и предел справа функции f(x). Тогда имеет место следующая классификация точек разрыва.

* Устранимый разрыв.

 Он имеет место, когда выполнено условие

.

 В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

* Разрыв первого рода (скачок).

 Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы и существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

* Разрыв второго рода.

 Если хотя бы один из и равен ¥± или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

 Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Геометрический  смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим  предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический  смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью  функции

*Если функция  f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной.  

*С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

 

  Лагранжа

 

 

Отношение f(b)-f(a) / b-a  есть угловой коэффициент  секущей АВ, а величина f I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

СЛЕДСТВИЕ:

Если, производная  функции yi=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.

Если две ф-ии имеют равные производные на некотором  промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.

  

Теорема Лагранжа

 Если f(x) непрерывна  на [a;b], дифференцируема на (a;b), то  найдется хотя бы одна точка  , такая, что f(b)-f(a)=f I(c)(b-a)

*ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Положим в т. Коши φ(x)=x

  

Подставим эти значения в формулу:

 

 Что и требовалось  доказать. 

Правило Лопиталя 

Если 

То f(x) и φ(x) в  некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.

*Предел  отношения функций равен пределу отношения их производных.

при условии, что  предел правой части равенства существует.

*Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:

Аргумент x стремится  к бесконечности

*Если отношение производных f I и φi при  x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.

При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно. 

Признак возрастания и  убывания функции.

Если ф-я f(x) дифференцируема  на интервале (a;b) и , то эта ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).

*Исследование  ф-ии на возрастание и убывание:

f(x)=x3-6x2-9x+1

D(f): (+∞;-∞)

f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)

f I > 0

f I < 0 при х прин.(1;3)

Функция убывает  на (1;3)