Сферическая геометрия. Треугольники на сфере

     Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.

     Если  треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два  треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.

     Теорема 2. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.

     Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником  А'С'В' угол, совпадающий с углом  В', есть угол С'; таким образом, оба  эти угла равны, и тоже самое имеет  место и для углов С и  В'.

     Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.

     Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором  ÐВ=ÐС и треугольник А'В'С' – треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.

     3.5. Большая окружность  как кратчайшая

     Теорема 3. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

     В самом деле, пусть АВС – произвольный сферический треугольник. Допустим, что из двух сторон АВ, АС сторона  АС большая. Отложим на стороне АС дугу АВ', равную дуге АВ (рис.21). Проведем какую-нибудь плоскость, проходящую через  точки В. В' и пересекающую лучи ОА и ОС (а не их продолжение) в точках А₁ и С₁. Треугольники ОА₁В и ОА₁В' равны_, (так как они имеют общую сторону ОА₁. равные стороны ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно. А₁В=А₁В'. Так как точки А₁. В' и С₁ лежат на одной прямой, (являющейся пинией пересечения плоскостей ОАС и А₁ВС₁ ). Причем точка В' лежит между А₁ и С₁, то

     В'С₁ = А₁С₁ - А₁В'=А₁С₁ - А₁В < ВС₁.

     Рассмотрим  теперь треугольники ОВС₁ и ОВ'С₁. В этих треугольниках ОС₁ – общая сторона и ОВ=ОВ', а третьи стороны связаны неравенством В'С₁<ВС_1. Следовательно, углы, лежащие в этих треугольниках против неравных сторон, связаны неравенством  ÐВ'ОС₁< ÐВОС₁. Поэтому дуга ÈВ'С, стягиваемая углом В'ОС, также меньше дуги ÈВС₁, стягиваемой углом ВОС₁. Иначе говоря,

     ÈАС - ÈАВ = ÈАС - ÈАВ' = ÈВ'С< ÈВС,

     т.е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что 

     ÈАС < ÈАВ + ÈВС,

     т.е. каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон.

     Следствие 1.  Во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит большая  сторона, а против большей стороны  лежит больший угол.

     Доказательство: Пусть в сферическом треугольнике АВС имеет место неравенство ÐС=ÐB, тогда через вершину проходит внутри треугольника такая дуга CD, что ÐАВС=ÐВСD. Треугольник ВСD – равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство

     AC<AD+DC=AD+DB=AB

     И обратно, пусть теперь AB>AC, тогда предположим, что ÐС=ÐВ. Отсюда следует, что АВ=АС или ÐС<ÐВ, но тогда АВ<АС. Получили противоречие с условием.

     Следствие 2. Дуга большой окружности, меньшая  полуокружности, короче всякой линии, состоящей из дуг нескольких больших  окружностей, соединяющей те же точки  сферы.

     

     Рис. 21

     В отличие от плоскости, где невозможны треугольники с двумя прямыми  углами, на сфере возможны такие  треугольники: это треугольники, у  которых одна из вершин является полюсом  противоположной стороны; стороны  этих треугольников, лежащие против прямых углов, равны  . Имеются на сфере и треугольники с тремя прямыми углами - это автополярные  треугольники, у них все три стороны равны . В том случае, когда сферический треугольник обладает только одним прямым углом, сторона, лежащая против этого угла, также как в случае плоских прямоугольных треугольников, называется гипотенузой, а остальные две стороны – катетами. 

     Теорема 4. Для того чтобы большая окружность пересекалась с какой-либо окружностью на сфере под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы первая из этих окружностей проходила через полюсы второй.

     Доказательство:   Пусть I - общая точка двух окружностей, прямые IT и It — касательные к большой и малой окружностям в этой точке, Р и Р'— полюсы малой окружности, О - центр шара (рис. 22).

                                              

                                                      Рис. 22

     Условие, указанное и теореме, достаточно. Действительно, если большая окружность проходит через точки Р и P', то её плоскость содержит две прямые, не параллельные между собой и перпендикулярные к прямой It, а именно диаметр РР' и радиус ОI. Следовательно, эта плоскость, а значит,  и касательная IT перпендикулярны к It.

     То  же условие и необходимо. Действительно, если две окружности пересекаются под  прямым углом, то плоскость большой  окружности содержит прямые IT и OI, перпендикулярные к It. Следовательно, она перпендикулярна к этой прямой, а потому и к плоскости малой окружности, и содержит в силу этого диаметр РР', перпендикулярный к этой последней плоскости и проходящий через точку О.

     Следствие. Через точку, лежащую на шаре, можно  провести большую окружность, перпендикулярную к данной окружности этой сферы; эта  большая окружность будет единственной, если данная точка не является полюсом  данной окружности.

     Большая окружность, отвечающая поставленному  условию, определяется данной точкой  А и  полюсами  Р и Р' данной окружности.

     Заметим, что существуют две дуги большой  окружности, выходящие из точки А  и перпендикулярные к данной окружности; а именно те дуги, которые    имеют   своими   концами   точки   пересечения   I и I′ данной окружности с большой окружностью, существование которой только что было доказано.

     Примечание. Здесь рассматриваются исключительно  дуги, выходящие из точки А и  имеющие своими концами первые точки  пересечения этих дуг с данной окружностью. Если не ввести этого ограничения, то число перпендикулярных дуг было бы более двух: например, поставленному  условию отвечала бы дуга АР′I′ (рис. 22). 

     Теорема 5. Если через какую-либо точку сферы провести две дуги большой окружности, перпендикулярные к данной окружности, и различные дуги больших окружностей, наклонные к той же окружности, то одна из перпендикулярных дуг короче, а другая длиннее, чем все наклонные дуги. Наклонная дуга будет тем длиннее, чем далее отстоит её конец от конца меньшей перпендикулярной дуги.

     Доказательство:  Пусть А - данная точка; Р—тот из полюсов данной окружности, который расположен по ту же сторону от этой окружности, как и точка А; АI и АI′ - обе перпендикулярные дуги большой окружности, причём АI′ - та из этих дуг, на которой лежит точка Р; АК, АК', АК"- различные наклонные дуги (рис. 23).

     

     Рис. 23. 

     1^о. Дуга АК больше дуги AI, но меньше АI′. Действительно, если провести дугу РК большой окружности, то из сферического треугольника АРК имеем:

     АК >РК — РА,   АК < РК + РА,

       в то время как

     РК—РА = PI — PA = АI,

     РК+ РА = PI′ + РА = АI′.

     2°.  Предположим, что точки К и  К' данной большой окружности  таковы, что дуги IК и IК' равны. При этом хорды, стягивающие эти дуги, также равны, и точка I одинаково удалена от двух точек К и К'. Так как точка Р обладает тем же свойством, то геометрическое место точек сферы, одинаково удалённых от точек К и К', есть большая окружность РI. Последняя проходит через точку А, а потому хорды АК и АК' равны, и, следовательно, равны соответствующие им дуги больших окружностей.

     3^о. Пусть теперь какая-либо точка К′′ на данной окружности обладает тем свойством, что IK′′ > IК. Можно предположить, основываясь на (2^о), что обе точки К и К′′ лежат по одну сторону от точки I. Проводим дуги больших окружностей РК и РК′′. Так как точка К лежит внутри угла К′′РI, то ÐKPI<ÐК′′РI. Треугольники АРК и АРК′′ имеют, таким образом, по неравному углу (при вершине А), заключенному между соответственно

     равными сторонами, откуда следует, что АК < АК′′. Теорема доказана.

     3.6. Площадь сферического  треугольника.

           Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с  площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим  четырём требованиям:

1. площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),
2. площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),
3. если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),
4. площадь всей сферы радиуса R равна 4pR² (свойство нормировки).

     Прежде  всего найдём площадь двуугольника. Из свойства аддитивности, инвариантности и нормировки следует, что если разделить  сферу на n равных двуугольников (рис. 24), то площадь каждого из них (т.е. площадь двуугольника с углом ) равна . Поэтому площадь двуугольника с углом , составленного из m рассмотренных двуугольников, равна , а если угол некоторого двуугольника больше    и меньше , то площадь этого двуугольника заключена между и (это вытекает из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число n, мы можем с помощью предельного перехода найти площадь любого двуугольника: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны a, равна

     

,

     т.е.

      .                                             (1) 
 

     

                              

     Рис. 24                                                          Рис. 25 

     Если  нам дан сферический треугольник  АВС, то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны  углу сферического треугольника между  этими сторонами (рис. 25). Всего таким  образом получается шесть двуугольников, два с углом А, два – с  углом В и два – с углом  С. Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник  А'В'С' (равный треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S(D) треугольника АВС, т.е.

     2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S(D).

     Так как

     S(A)=2r²A,     S(B)=2r²B,      S(C)=2r²C,

     То  мы получаем

     4r²(A+B+C)=4pr²+4S(D),

     т.е.

     S(D)=r²(A+B+C-p).                                              (2)