Сферическая геометрия. Треугольники на сфере

     

     а)                                                                    б)

     Рис 10

     Так как полюсы D и E больших окружностей AB и AC представляют собой точки большой окружности ВС, полученные из точек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, делённой на радиус сферы. Заменяя одну из точек D или Е её диаметрально противоположной точкой D' или E' (рис.11), мы получим угол, смежный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делённой на радиус сферы.

     

 

     Рис 11

     Так как при отражении от диаметральной  плоскости полюсы большой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие  окружности, проходящие через эти  полюсы, при указанном отражении  переходят в себя (рис.12). Поэтому  углы, составляемые этими большими окружностями с большой окружностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна из которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.

     

     Рис 12

     Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей точку, полярно  сопряжённую точке пересечения, мы получим такую точку, что проведённый  в нее радиус сферы перпендикулярен  диаметральной плоскости, высекающей из сферы вторую большую окружность (рис.13), т.е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.

     

                

     Рис 13                                                   Рис 14         

     Отсюда  следует, что большая окружность, являющаяся полярой точки пересечения  двух больших окружностей, перпендикулярна  обеим большим окружностям, т.е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикулярной к ним обеим (рис.14). Для сравнения заметим, что на плоскости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причём две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.

   2.5.  Предмет сферической геометрии.

     Сферическая геометрия изучает те свойства фигур  на сфере, которые сохраняются при  любых движениях сферы. Фигуры на сфере, которые могут быть переведены одна в другую некоторым движением  сферы, называются равными фигурами, геометрические свойства равных фигур одинаковы.  

     

     а)                                                  б)

     Рис 17

     Иногда  предмет сферической геометрии  определяется иначе. Именно вместо движений, определённых выше рассматриваются  только повороты сферы и изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при поворотах. Фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте, называют в этом случае равными. Фигуры же, которые переходят друг в друга при движении, но не могут быть совмещены поворотом, равными не считают; такие фигуры называют симметричными. Так, на рис. 17,а изображены равные фигуры, а на рис.17,.б – симметричные фигуры. 

     3. Сферические треугольники

     3.1. Треугольники и  двуугольники на  сфере.

     Возьмём на сфере три точки А, В, С, не лежащие  в одной плоскости с центром  О данной сферы. Совокупность этих точек  и дуг АВ, ВС, и АС больших окружностей (меньшие полуокружности) называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги АВ, ВС и АС – его сторонами. Углы, образуемые сторонами сферического треугольника в его вершинах, называются углами сферического треугольника. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трёхгранного угла мы получим сферический треугольник.

     В отличии от плоскости, где треугольник  является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются  многоугольники с числом сторон меньше трёх – двуугольники.  Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами; эти общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

     Биссектрисой сферического треугольника называется большая окружность, делящая пополам один из его углов, а также дуга этой большой окружности, имеющая своими концами вершину треугольника и точку пересечения большой окружности с противолежащей стороной. Медианой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и через середину противолежащей стороны. Высотой сферического треугольника называется большая окружность, проходящая через одну из его вершин и перпендикулярная к противолежащей стороне, а также одна из двух дуг этой большой окружности, имеющих своими концами данную вершину треугольника и точки пересечения с противолежащей стороной. Если углы сферического треугольника при двух других его вершинах оба острые или оба тупые, то за высоту естественно принять дугу, лежащую внутри треугольника. Если же из двух углов при двух других вершинах один острый, другой тупой, то обе дуги, о которых идёт речь, проходят вне сферического треугольника; в этом случае за высоту естественно принять дугу, меньшую квадранта. Наконец, понятие высоты сферического треугольника, выходящей из данной вершины, теряет смысл, если углы при двух других вершинах оба прямые: в этом случае всякая большая окружность, проходящая через данную вершину, перпендикулярна противолежащей стороне.

     3.2. Полярные треугольники.

     Всякому сферическому треугольнику АВС можно  поставить в соответствие другой сферический треугольник А'В'С', вершины  которого являются полюсами сторон ВС, СА, АВ сферического треугольника АВС, лежащими от этих сторон по ту же сторону, что и соответственно вершины  А, В, С (рис. 19). Будем называть сферический  треугольник А'В'С' полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС.

     

     Рис 19

     Если  сферический треугольник  А'В'С' является полярным по отношению к  сферическому треугольнику АВС, то и сферический  треугольник АВС  полярен по отношению  к сферическому треугольнику А'В'С'. В самом деле, так как точка В' является полюсом стороны АС, то точка В' полярно сопряжена с точками А и С (рис. 19). Так как точка С' является полюсом стороны АВ, то точка С' полярно сопряжена с точками А и В. Но так как точка А полярно сопряжена с точками В' и С' стороны В'С', то она является полюсом стороны В'С'. При этом, так как точки А и А' лежат по одну сторону от стороны ВС, то они лежат и по одну сторону и от стороны В'С'. Также доказывается, что точки В и С тоже являются полюсами сторон С'А' и А'В' и лежат по ту же сторону от этих сторон, что и точки В'С', т.е. сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С'.

     Обозначим точки пересечения больших окружностей  АВ и АС со стороной В'С' через L и М, точки пересечения больших окружностей ВС и ВА со стороной А'С' через N  и Р и точки пересечения больших окружностей СА и СВ со стороной А'В' через Q и R (рис. 19). Тогда если величины углов САВ, АВС и ВСА обозначить через А, В и С, а радиус сферы – через r, то дуги больших окружностей LM, NP и QR соответственно равны Аr, Br, Cr. Далее, так как дуги В'М, LC', C'P, NA', A'R, QB' соединяют полярно сопряжённые точки, то они равны . Поэтому, если все три угла А, В, С , то дуги B'L и MC', C'N и PA', A'Q и RB', дополняющие дуги Аr, Br, Cr до , соответственно равны ,  ,  . Таким образом, стороны В'С', С'А' и А'В' полярного треугольника в этом случае равны , , . Тот же результат совершенно аналогично доказывается и для случаев, когда углы А, В или С больше . Поэтому стороны треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику АВС, соответственно равны , , . Отсюда, если мы обозначим эти стороны через а', b', с', мы получим, что т.е. углы треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику со сторонами а', b', с', соответственно равны .

     Переход от данного сферического треугольника к треугольнику полярному относительно данного позволяет, зная свойства сторон первого треугольника, выводить из них свойства углов второго. Таким путём получается следующая теорема:

     Теорема 1. Во всяком сферическом треугольнике:

1. каждый угол, увеличенный на два прямых, больше суммы двух других углов;
2. сумма трёх углов больше двух прямых и меньше шести прямых.

     Сферический треугольник, совпадающий со своим  полярным треугольником, называется автополярным треугольником. Так как все вершины автополярного треугольника полярно сопряжены, все стороны этого сферического треугольника равны четверти большой окружности, откуда вытекает, что все три угла этого сферического треугольника прямые. На рис. 20 изображён автополярный треугольник АВС. 

     

     Рис 20

 

      3.3. Равенство сферических  треугольников.

     Два сферических треугольника называются равными, если их можно совместить друг с другом движением сферы. Очевидно, что между вершинами двух равных сферических треугольников можно  установить такое соответствие, при  котором и соответственные стороны, и соответственные углы этих сферических  треугольников равны: для этого  надо поставить в соответствие каждой вершине первого сферического треугольника ту вершину второго сферического треугольника, в которую он переходит  при совмещении этих сферических  треугольников.

     Равенство сферических треугольников, так  же как равенство плоских треугольников, определяется равенством трёх элементов  этих треугольников.

     Первый  признак равенства  треугольников.

     Два сферических треугольника равны, если две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным  сторонам другого сферического треугольника и равны углы между этими сторонами.

     Второй  признак равенства.

     Два сферических треугольника равны, если два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам  другого сферического треугольника и равны стороны между этими  углами. 

     Третий  признак равенства.

     Два сферических треугольника равны, если все три стороны одного сферического треугольника равны соответственным  сторонам другого сферического треугольника.

     Четвёртый признак равенства.

     Два сферических треугольника равны, если две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным  сторонам другого сферического треугольника, углы, лежащие против двух равных сторон, равны, а углы, лежащие против двух других равных сторон, одновременно острые или тупые.

     Пятый признак равенства.

     Два сферических треугольника равны, если два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам  другого сферического треугольника, стороны, лежащие против двух равных углов, равны, а стороны, лежащие  против двух других равных углов, одновременно меньше или больше .

     Шестой  признак равенства.

     Два сферических треугольника равны, если все три угла одного сферического треугольника равны соответственным  углам другого сферического треугольника.

     Сравнивая первый признак равенства со вторым, третий с шестым, а четвёртый с  пятым, можно заметить, что если для  двух сферических треугольников  выполнен признак каждой пары, для  полярных по отношению к ним треугольников  выполнен второй признак той же пары. Поэтому, так как из равенства  двух сферических треугольников, очевидно, вытекает равенство полярных по отношению  к ним треугольников, то из справедливости одного из признаков каждой пары вытекает справедливость второго из признаков  той же пары.  

            

     3.4. Равнобедренные сферические  треугольники.

     Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

     Всякий  сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.

     Действительно, мы знаем, что в силу того, что  оба треугольника имеют противоположное  расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы  совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально  на концах одного диаметра; если бы среди  сторон треугольника не было равных между  собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.