МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Дальневосточная  государственная социально-гуманитарная академия» 
 

Кафедра высшей математики и методики обучения математике 
 

     Курсовая  работа

     Сферическая геометрия. Треугольники на сфере. 

     Выполнил: студент 4 курса

     группы 1281

     Кривошеев Сергей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Биробиджан, 2011

     Содержание

Введение

Сферическая геометрия

1. Происхождение сферической геометрии…………………

     2. Основные понятия сферической геометрии……………...

     3. Сферические треугольники …………………………………

      Заключение……………………………………………………..

    Список литературы……………………………………………

     Введение

 

     Тема  моей курсовой работы «Сферическая геометрия. Треугольники на сфере». Выбор этой темы был основании того, что в основном курсе геометрии ВУЗа практически не уделяется внимание геометрии на сфере. А благодаря этой геометрии в прошлые и нынешние времена происходит изучение объектов звездного неба, которое так велико, что человеку не представимо в мыслях.

     Данная  работа содержит исторические аспекты возникновения и развития, основные понятия и теоремы сферической геометрии ,в отношении  треугольника на сфере.

     Основная  цель, которая поставлена в данной работой, может быть сформулирована следующим образом:

Изучить предмет  сферической  геометрии, что она представляет в общем  смысле .

Рассмотреть  понятие треугольника на сфере или  как его еще называют «сферический треугольник» 

     Сферическая геометрия

1. Происхождение сферической геометрии

     Первой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем евклидова геометрия плоскости и пространства. Основными стимулами для возникновения геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур и вместимости сосудов и амбаров различной формы, т.е. объёмов различных тел. Основным стимулом для возникновения сферики было изучение звёздного неба.

     Наблюдение  небесных светил производилось ещё  в Древнем Египте и Вавилоне, прежде всего с целью установления календаря. Мы обязаны египтянам разделением  суток на 24 часа. Вклад вавилонян  в развитии астрономии был более  значителен: наблюдения затмений и  звёзд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в VIII в. до н. э. Древние греки познакомились с вавилонской астрономией по крайней мере в IV в. до н. э., когда первоначальные названия планет были заменены названиями планет по вавилонскому образцу, латинскими переводами которых являются общепринятые нами названия. Астрономия, изложенная в «Альмагесте» Птолемея, была результатом продолжавшегося несколько веков развития науки, впитавшей традиции как вавилонских астрономов, так и греческих геометров. 

2. Основные понятия сферической геометрии.

     2.1. Сфера, большая  и малая окружности.

 

     Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

     Отрезок, соединяющий центр сферы с  какой-либо его точкой, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий де точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

     Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R. Возьмём плоскость a, удалённую от точки O на расстояние, меньшее R. Тогда пересечения плоскости a и сферы S есть окружность. Радиус r этой окружности является катетом прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого – радиус R, а второй катет – перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r =

     

     Рис 1

     Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R при h=0, то есть является диаметральной плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r<R, окружность на сфере называется в этом случае малой окружностью.

     Так как через всякие три точки  пространства, не лежащие на одной  прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными проходит единственная диаметральная  плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.3). Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

     

     Рис 2                                               Рис 3

     Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама окружность – краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.5 изображены восемь областей ABC, ABC¢, AB¢C, A¢BC, AB¢C¢, A¢BC¢, A¢B¢C, A¢B¢C¢, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A¢,B¢,C¢ диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области ABC и A¢B¢C¢, ABC¢ и A¢B¢C, AB¢C и A¢BC¢, A¢BC и AB¢C¢ попарно диаметрально противоположны).

     

     Рис 4                                                 Рис5

     Если  первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая  делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися  прямыми, то третье из указанных свойств  не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как  три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.6).

     

     Рис 6

 

      2.2. Расстояние между  точками.

     Возьмём две точки A,BÎS и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис.7). Окружность Q является объединением двух своих дуг ÈAMB и ÈANB с концами в точках A и B. Длина той из двух дуг, которая не больше полуокружности, называется сферическим расстоянием между точкам A и B и обозначается через d(A,B). Следовательно, для любых дух точек сферы S имеем d(A,B)≤pr.

     

     Рис. 7

     Пусть ÈAMBÌQ меньше полуокружности, и, значит, d(A,B) – длина этой дуги. Обозначим через a величину центрального угла  AOB, опирающегося на дугу AMB, и через r(A,B) длину отрезка AB. Как известно,

                          d(A,B)=ar.                                                                     (1)

       Из треугольника  AOB (рис.7) находим:

                          r(A,B)=2r sin( )                                                          (2)

     Из  формул (1),(2) следует:

                          r(A,B)=2r sin ( ).                                                (3)

 

      2.3. Полюс и поляра.

     Всякой  большой окружности соответствует  две диаметрально противоположные  точки сферы, высекаемые из неё диаметром, перпендикулярным к плоскости большой  окружности (рис.8). Эти две точки  называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли являются её географические полюсы – Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность, для которой точки А и В являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряжённой с каждым из её полюсов; иначе говоря, точки P,Q  сферы являются попарно сопряжёнными, если радиусы OP и ОQ перпендикулярны (О – центр сферы). Понятно, что все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное (или квадранту). 

     

     Рис 8

2.4. Угол на сфере.

     Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 9 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

     

     Рис 9

     Если  мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А угла на сфере  и пересекающую стороны этого  угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны  лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 9). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению ÐВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

     Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных  концах, равны одному и тому же углу ВОС, то эти углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.10, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 10, б).