Применение оптимизационных методов к решению экономических задач

Естественный на первый взгляд путь замены случайных параметров их средними значениями и поиск оптимальных планов полученных таким образом детерминированных задач во всех случаях не всегда оправдан. При усреднении параметров условий задачи может быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению. Оптимальный план детерминированной задачи с усредненными параметрами не всегда удовлетворяет условиям задачи при различных возможных комбинациях параметров ограничений. Этот прием применяют лишь для приближенного решения стохастической задачи.

На практике чаще других встречаются двухэтапные стохастические задачи. Подобные задачи возникают, например, при планировании выпуска продукции в случае, когда отсутствуют данные о спросе на нее. В такой ситуации сначала принимается предварительное решение об объеме выпуска на основе имеющейся информации (1-й этап), затем после установления спроса принимается корректирующее решение (2-й этап). При этом предварительное решение не должно исключать возможность его коррекции на втором этапе. Кроме того, предварительный и корректирующий планы согласовывают так, чтобы обеспечивались минимальные средние затраты за оба этапа. Для ряда конкретных постановок двухэтапных стохастических задач разработаны достаточно надежные методы решения.

В многоэтапных (динамических) задачах по мере получения информации о развивающемся процессе имеется возможность неоднократно корректировать решение, учитывая исходные ограничения и априорные статистические характеристики случайных параметров, описывающих процесс на каждом этапе. Многоэтапные задачи могут быть как с жесткими, так и с вероятностными ограничениями. Примерами многоэтапных стохастических задач являются задачи перспективного планирования, регулирования технологических процессов оперативного управления космическими объектами и др. Многоэтапные стохастические задачи представляют для практики наибольший интерес.

Модели стохастического  программирования имеют подобный вид, но используют знание распределений вероятностей для данных или их оценок. Цель здесь состоит в том, чтобы найти некоторое решение, которое является допустимым для всех (или почти всех) возможных значений данных и максимизируют математическое ожидание некоторой функции решений и случайных переменных. В общем, такие модели формулируются, решаются аналитически или численно, их результаты анализируются, чтобы обеспечить полезную информацию для лиц, принимающих решения.

Наиболее широко применяются  и хорошо изучены двухэтапные  линейные модели стохастического программирования. Здесь лицо, принимающее решение, предпринимает некоторое действие на первом этапе, после которого происходит случайное событие, оказывающее влияние на результат решения первого этапа. На втором этапе может тогда быть принято корректирующее решение, которое компенсирует любые нежелательные эффекты в результате решения первого этапа.

Оптимальным решением такой  модели является единственное решение  первого этапа и множество  корректирующих решений (решающих правил), определяющих, какое действие должно быть предпринято на втором этапе в ответ на каждый случайный результат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Применение динамического программирования  к решению экономических задач

Оптимальное распределение ресурсов.

Планируется деятельность двух предприятий (s=2) в течении 4х лет. Начальные средства ( ) составляют 10000руб. Средства х, вложенные в предприятие I, приносят к концу года доход и возвращаются в размере ; аналогично, средства х, вложенные в предприятие II, дают доход и возвращаются в размере . По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями I и II, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.

Будем рассматривать  процесс распределения средства как n-шаговый, в котором номер шага соответствует номеру года. Управляемая система – два предприятия с вложенными в них средствами. Система характеризуется одним параметром состояния - количеством средств, которые следует перераспределить в начале k-го года. Переменных управления на каждом шаге две: - количество средств, выделенных соответственно предприятию I и II. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то . Для каждого шага задача становится одномерной. Обозначим через , тогда .

Показатель эффективности k-го шага равен . Это – доход, полученный от двух предприятий в течении k-го года.

Показатель эффективности  задачи – доход, полученный от двух предприятий в течении n лет – составляет

              (1)

Уравнение состояния  выражает остаток средств  после k-го шага и имеет вид

            (2)

Пусть - условный оптимальный доход, полученный от распределения средств между двумя предприятиями за n-k+1 лет, начиная k-го года до конца рассматриваемого периода. Запишем рекуррентные соотношения для этих функций:

                                              

       (3)

Если  и - средства, выделенные соответственно предприятиям I и II в k-м году, то суммарный доход, полученный в этом году от обоих предприятий равен:

 

А уравнение состояния (2) принимает вид

Основные функциональные уравнения (3) запишутся следующим  образом:

           

                                  (k=1,2,3).

Проведем этап условной оптимизации.

4-ый шаг: Условный оптимальный доход равен

               

Так как линейная относительно функция достигает максимума в конце интервала, т.е. при .

3-й шаг:

                                                              

Коэффициент при  отрицателен, поэтому максимум этой линейной относительно функции достигается в начале интервала, т.е. .

2-й шаг: 

,

Откуда  .

1-й шаг: 

При

Результат условной оптимизации:

Перейдем к безусловной  оптимизации. Полагаем

Следовательно, средства по годам нужно распределить так:

Предприятие	Годы
	1	2	3	4
I II	0 10000	0 8000	0 6400	5120 0

 

При таком распределении  средств (10000 руб.) за четыре года будет  получен доход, равный руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы 

В работе были рассмотрены теоретические аспекты следующих методов программирования: динамическое программирование, сетевое планирование и управление, теория массового обслуживания, теория игр, стохастическое программирование.

Динамическое программирование: используется для отыскания оптимального решения, планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом. Была рассмотрена задача на оптимальное распределение ресурсов с помощью динамического программирования.

Сетевое планирование и  управление: с помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.

Стохастическое  линейное программирование: Бывает много практических ситуаций, когда коэффициенты c_i целевой функции, коэффициенты a_ij в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений b_i - являются случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического программирования.

Задачами теории массового обслуживания является анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.

Теория игр пытается математически объяснить явления возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

1. Калихман, И.Л. динамическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие. -  М.: Высшая школа,1979. – 125с.
2. Кравченко, Р.Г. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. - М.: Колос, 1973.- 528с.
3. Кузнецов А.В. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1984. – 221с.