Применение оптимизационных методов к решению экономических задач

Отметим также, что с  ростом масштабов производства численности населения (особенно городского), увеличением его плотности и мобильности, усилением интенсивности транспортных потоков и другими аналогичными явлениями и процессами современной жизни существенно растут возможности различного рода перегрузок, скопления людей, средств транспорта, материалов, деталей и т. д.

Таким образом, все сказанное  может вызвать мысль о том, что очереди фатально неизбежны  и, следовательно, нечего с ними бороться. Однако это не так. Улучшение режима функционирования процессов и условий, в которых они протекают, может существенно снизить возможность возникновения очередей и даже свести ее к минимуму. Для повышения качества организации массового обслуживания необходимо прежде всего изучить специфику протекания самого процесса и механизм возникновения очереди.

У рассматриваемой проблемы есть и экономическая сторона. Поскольку  снижение возможности возникновения очереди часто связанно с повышением мощности (пропускной способности) канала обслуживания, то возникает необходимость найти оптимальные соотношения затрат (потерь), связанных с нахождением в очереди, и затрат на расширение мощности обслуживающих устройств. В самом деле: постройка порта такой пропускной способности, при которой каждое судно сразу же по прибытии получило бы место у пирса, связана с огромными затратами, и сомнительно, что такой путь будет рациональным.

Поэтому вряд ли нужно  во всех случаях добиваться наращивания пропускной способности каналов обслуживания. Существенное расширение каналов может привести к тому, что большую часть времени они будут простаивать, а это приведет к экономическим потерям. Таким образом, необходимо найти рациональный вариант системы обслуживания, вариант, который выражает минимизацию суммарных потерь от ожидания обслуживания и от простоев каналов обслуживания.

В ряде случаев определяют тот компромиссный вариант, при котором минимизируется один из видов потерь при наложении фиксированных ограничений на размер других.

Несомненно, что при  проектировании систем массового обслуживания и оперативном управлении ими необходимо учитывать как возможность возникновения очередей, так и возможность простоя канала обслуживания. Элементарные расчеты, игнорирующие эту специфику систем массового обслуживания и опирающиеся, например, только на средние или нормативные характеристики пропускной способности каналов обслуживания, не отражают в должной мере реальной картины обслуживания. Во всяком случае, они не позволяют обнаружить потенциально «узкие места» производственных процессов, реально оценить потери от простоев, повысить эффективность. И экономичность функционирования таких систем.

Системы, краткая характеристика которым была дана выше, и являются предметом изучения теории массового обслуживания.

Цель теории массового обслуживания — анализ процесса образования очередей, определение взаимосвязей между их основными характеристиками и в конечном счете выявление наилучших путей управления этими процессами (нахождение оптимальных режимов их протекания.

Там, где процесс на первый взгляд представляется хаотичным, беспорядочным сцеплением случайных событий, где, казалось бы, отсутствует всякая закономерность, а следовательно, и поле для исследования потока требований и управления им, теория массового обслуживания позволяет обнаружить и практически использовать определенную регулярность и закономерность.

Комплексное изучение системы  массового обслуживания дает возможность получить необходимую информацию и, таким образом, подготовить основания для принятия решений относительно режима функционирования системы, улучшения ее организации и т. Д. При этом учитывается то, что анализируемые системы уже функционируют или еще только проектируются. В первом случае принятые решения могут быть направлены на повышение качества действия систем, улучшение их организации в соответствии с принятым критерием качества работы системы (например, сокращение потерь в денежном измерении в целом для системы, сокращение потерь времени на обслуживание требований, находящихся в очереди,. И т. Д.). Во втором случае в зависимости от условий, в которых будет функционировать система, ее пропускной способности и т. Д. оцениваются, а в ряде случаев предсказываются качественные характеристики системы. В частности, проверяется возможность появления недопустимых или нежелательных ситуаций (очередей, превышающих по своей длине некоторый предел, значительного времени ожидания в очереди и т. Д.).

В качестве основания  для принятия решений выступают параметры, характеризующие различные стороны действия как системы в целом, так и отдельных ее элементов. Так как монументам поступления требований в систему и длительности их .обслуживания присущи случайные колебания, то для описания отдельных элементов системы привлекаются распределения случайных величин и их числовые характеристики (средние значения, дисперсии и т. П.). Основными характеристиками действия и состояния систем массового обслуживания обычно являются средние: среднее число требований в очереди и в системе, среднее время ожидания требования, среднее время функционирования системы и др., а также значения некоторых вероятностей, например вероятность того, что в системе имеется не менее определенного числа требований, вероятность возникновения очереди и т. Д. Поскольку в теории массового обслуживания анализируются вероятностные процессы, то в ней широко используется аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Рассматривая задачи, решаемые на основе теории массового  обслуживания, следует указать на возможные варианты соотношения между целями, преследуемыми системой обслуживания в целом, и целями, к которым стремятся объекты обслуживания. Здесь, по-видимому, нужно назвать следующие ситуации.

Цели полностью  совпадают или близко соответствуют  друг другу. Такое соответствие можно наблюдать в значительном числе хозяйственных систем. Возьмем, например, систему ремонта автомобильных двигателей. И ремонтный завод, и владельцы неисправных двигателей хотя и по разным мотивам, по заинтересованы в наиболее быстром устранении неисправностей двигателей. Отсюда, стремление к изменению параметров системы в одном направлении.

Цели противоречат друг другу. Это крайний и, вероятно, редко встречающийся случай. В качестве примера можно привести соотношение целей ПВО и вражеских самолетов. Если одна сторона будет стремиться максимизировать среднюю вероятность поражения (в терминах теории массового обслуживания — вероятность того, что требование будет обслужено), то другая, естественно, будет предпринимать соответствующие меры для уменьшения ее.

Цели не полностью  совпадают, но и не находятся в  противоречии. Например, интересы пассажиров (ехать не в переполненном автобусе) и автобусного управления (интенсивно использовать машины и, таким образом, получать наибольшую отдачу на основные фонды) не находятся в полной гармонии. Улучшение одного параметра, допустим, снижение плотности пассажиров в расчете на один автобус (для этого, естественно, надо увеличить число машин на линии), приводит к ухудшению другого параметра, например прибыли. В приведенном примере улучшение качества функционирования системы обслуживания может заключаться в поисках некоторого разумного компромисса интересов обеих сторон. Во всяком случае, здесь возможны расчеты, показывающие, во что обходится той и другой стороне изменение режима функционирования системы.

Если система достаточно полно определена, т. Е. изучены или заданы входящий поток требований (последовательность поступления требований в систему), механизм обслуживания (число обслуживающих устройств, число обслуживаемых в любой момент времени заявок, продолжительность обслуживания и т. П.) и дисциплина очереди (совокупность правил поведения заявок в очереди и их поступления в обслуживающие устройства), то это дает основание для математического описания системы, иначе говоря, для построения математической модели. Если математическая модель более или менее адекватно отображает систему, то она позволяет получить параметры, характеризующие те или иные свойства системы, о которых упоминалось выше.

Процесс исследования систем массового обслуживания в общих чертах содержит следующее:

- логический анализ  причинно-следственных связей отдельных звеньев системы: вскрытие условий и специфики формирования потока требований и механизма их обслуживания, выявление задач системы и т. Д. Такой анализ позволяет при наличии статистических характеристик, о которых будет сказано ниже, отнести систему массового обслуживания к той или иной категории и, если это возможно, подобрать соответствующую математическую модель из широкого круга уже разработанных моделей' или разработать новую модель;

- статистический анализ  основных элементов системы, т. Е. сбор и обработку данных, характеризующих эти элементы, построение соответствующих распределений (например, распределения числа требований или интервалов между поступлениями и длительностью обслуживания). Сюда же относится проверка гипотез о характере распределений соответствующих величин и режиме функционирования системы. Чтобы математическая модель была ближе к реальности и на ее основе можно было бы действительно определить свойства системы массового обслуживания, статистическое описание должно быть проведено достаточно основательно. Этот этап позволяет получить статистические данные, необходимые для построения и практического использования математической модели системы;

- разработку (или подбор) математической модели, аналитически  описывающей систему массового  обслуживания, ее наполнение исходными данными и экспериментальную проверку;

- получение искомых  оценок, их всесторонний анализ и выявление путей улучшения качества функционирования системы.

Таким образом, перед  теорией массового обслуживания стоят проблемы, которые связаны  с анализом поведения системы. Анализ поведения охватывает расчет различных характеристик и оценку влияния их изменений на состояние, качество и эффективность функционирования системы. Статистический анализ заключается, как уже говорилось выше, в получении статистических характеристик, главным образом рядов распределения, и в проверке различных гипотез о характере этих распределений (соответствие их тем или иным законам распределения и т. д.). Цель анализа, охватывающего организационные аспекты,— повышение качества и экономической эффективности функционирования систем обслуживания, контроль за их действием. Оперативное вмешательство в действие системы обслуживания там, где 'это возможно, достигается изменением правила отбора требований в канал обслуживания, воздействием на механизм обслуживания (например, увеличение числа машин или внедрение более производительного оборудования) и на сферу, в которой зарождаются требования. Однако, чтобы оперативное вмешательство не было волюнтаристским, не приводило бы к неожиданным отрицательным последствиям, оно должно базироваться на научных выводах, на результатах аналитического исследования систем массового обслуживания.

5. Стохастическое программирование

Оптимизационные задачи и их модели рассматривались в этой книге в предположении, что вся исходная информация задана строго однозначно. Такие задачи и модели называют детерминированными. В действительности же детерминированные модели часто оказываются неадекватными реальным процессам в экономике. Это объясняется неполнотой, неточностью данных, на основе которых формируется модель. В одних случаях некоторые (а возможно, и все) параметры модели носят вероятностный характер. Тогда говорят о ситуациях, связанных с риском. В других случаях имеющаяся информация не позволяет составить представление о характере изменения параметров, описывающих изучаемый процесс. Такие ситуации называют неопределенными. Оптимизационные задачи, при постановке которых нет исчерпывающих данных об их условиях, называют стохастическими. Поскольку стохастические задачи приходится ставить и решать при недостаточной информации, это ведет к снижению экономической эффективности получаемых решений.

Для исследования описанных  ситуаций разрабатываются специальные методы, объединяемые в разделе математического программирования, называемом стохастическим программированием. Стохастическое программирование изучает теорию и методы решения условных экстремальных задач при неполной информации об условиях задач.

Различают пассивное  и активное стохастическое программирование. Пассивное стохастическое программирование — это совокупность приемов, позволяющих находить наилучшие решения и экстремальные значения целевых функций в оптимизационных задачах со случайными исходными данными. При этом используются, в частности, идеи параметрического программирования. Активное стохастическое программирование — это совокупность приемов, позволяющих развивать методы выбора решений в условиях риска и неопределенности.

В стохастическом программировании исследуются одно-, двух- и многоэтапные задачи.

Одноэтапными называют задачи, в которых последовательность поступления исходной информации не имеет значения при выборе решения, оно принимается один раз и в дальнейшем не корректируется. Такие задачи могут порождаться детерминированными оптимизационными задачами, когда исходные данные теряют определенность и приобретают случайный характер. В одноэтапных задачах по-разному выбираются целевая функция и характер ограничений. В качестве целевой функции может рассматриваться вероятность попадания решения в некоторую, вообще говоря, случайную область или математическое ожидание некоторой функции от решения. В одних случаях ограничения задачи могут удовлетворяться при всех возможных значениях случайных параметров (жесткая постановка). В других случаях требуется, чтобы вероятность попадания решения в допустимую область была не меньше данного числа (модель с вероятностными ограничениями). В каждой конкретной задаче приходится специально оговаривать, что называть планом и оптимальным планом.